En komplet firkant (nogle gange bruges udtrykket komplet fire-vertex ) er et system af geometriske objekter, der består af fire punkter på planet , hvoraf ikke tre ligger på samme linje, og seks linjer, der forbinder seks par punkter. Konfigurationen dual til en komplet firkant - en komplet firkant - er et system af fire linjer, hvoraf ikke tre går gennem det samme punkt, og seks skæringspunkter mellem disse linjer. Lachlan [1] brugte navnet tetrastigma [2] for en komplet firkant, og tetragam for en komplet firkant . Selvom disse udtryk er sjældne, findes de i litteraturen.
En figur bestående af fire punkter på et plan, hvoraf ikke tre er collineære, og seks linjer, der forbinder dem i par, kaldes en komplet firkant . Sider, der ikke har et fælles toppunkt i en komplet firkant, kaldes modsatte . Skæringspunkterne for tre par modstående sider kaldes diagonale punkter [3] .
En figur bestående af fire rette linjer i et plan, hvoraf ikke tre konvergerer i ét punkt, og seks punkter af deres parvise skæringspunkt, kaldes en komplet firkant . De fire rette linjer kaldes siderne, og de seks punkter kaldes firkantens hjørner. Hjørner, der ikke støder op til samme side, kaldes modsatte . Lige linjer, der forbinder tre par af modsatte hjørner, kaldes diagonaler [3] .
En række på seks (fem, fire) punkter, hvor siderne af en komplet firkant skærer en bestemt linje, kaldes en række af punkter genereret af den komplette firkant [4] . Hvis en sådan linje går gennem to diagonale punkter A og C , og B og D er de punkter, hvor de to andre sider skærer linjen AC , så kaldes punktparrene AC og BD harmoniske quads og betegnes H(AC, BD ) . Punkterne B og D kaldes harmoniske med hensyn til A og C , og punkt D (eller B ) kaldes harmonisk konjugat til punkt B (eller D ) med hensyn til punktparret A og D [5] .
Hvis der er en overensstemmelse mellem punkterne i to figurer, sådan at linjerne, der forbinder hvert par af tilsvarende punkter, konvergerer på et eller andet punkt O , så kaldes figurerne perspektiv i forhold til centrum O [3] .
Hvis der er en overensstemmelse mellem de rette linjer i to figurer, således at skæringspunkterne for hvert par af tilsvarende linjer ligger på den samme rette linie l , så kaldes disse figurer perspektiv i forhold til l - aksen .
Efter opdagelsen af Fano-planet , en endelig geometri , hvor diagonalpunkterne på en komplet firkant er kollineære , tilføjer nogle forfattere Fano-aksiomet til projektiv geometris aksiomer , idet de postulerer, at diagonalpunkterne ikke er kollineære [6] [7] .
Som et system af punkter og linjer, hvor alle punkter hører til det samme antal linjer, og alle linjer indeholder det samme antal punkter, er en komplet firkant og en komplet firkant projektive konfigurationer . I projektiv konfigurationsnotation skrives en komplet firkant som (4 3 6 2 ), og en komplet firkant som (6 2 4 3 ), hvor tallene i denne notation angiver antallet af punkter, antallet af linjer, der går gennem hvert punkt , antallet af linjer og antallet af punkter på hver lige linje. Den projektive dobbelte konfiguration af en komplet firkant er en komplet firkant og omvendt. For to komplette firkanter eller to komplette firkanter er der en unik projektiv transformation , som transformerer en af konfigurationerne til den anden [8] .
Karl Staudt forvandlede matematikkens grundlag i 1847 ved hjælp af den komplette firkant, da han bemærkede, at de "harmoniske egenskaber" er baseret på de samtidige egenskaber for firkanten - skæringspunkterne mellem de modsatte sider af firkanten og skæringspunktet mellem diagonalerne og linje, der går gennem disse punkter, danner en harmonisk kvartet . Forskere i moderne geometri og algebra har henledt opmærksomheden på Staudts indflydelse på Mario Pieri og Felix Klein .
Wells [9] beskriver nogle yderligere egenskaber for komplette firkanter, der bruger metriske egenskaber for det euklidiske plan , som ikke er rent projektive. Midtpunkterne på diagonalerne er kollineære og (som Isaac Newton beviste) centrum af keglesnittet ligger på den samme rette linje , tangent til firkanten med fire rette linjer. Alle tre lige firkanter danner siderne i en trekant. Ortocentrene af de således dannede fire trekanter ligger på en anden linje vinkelret på den første linje (passer gennem diagonalernes midtpunkter). De omskrevne cirkler af disse fire trekanter skærer hinanden i et punkt. Derudover hører tre cirkler konstrueret på diagonaler som diametre til én blyant af cirkler [10] , hvis akse går gennem ortocentrene.
De polære cirkler i trekanter af den komplette firkant danner et system af koaksiale cirkler [11] .