Loop (topologi)

En sløjfe i et topologisk rum X er en kontinuerlig afbildning f af enhedssegmentet I = [0,1] til X , således at f (0) =  f (1). Det er med andre ord en sti, hvis startpunkt er det samme som slutpunktet [1] .

Sløjfen kan også ses som en kontinuerlig afbildning f af enhedscirklen S 1 til X , da S 1 kan betragtes som kvotientrummet af I ved at identificere 0 med 1.

Lad X  være et topologisk rum, x 0 ∈ X . En kontinuerlig afbildning l : S 1 → X sådan at l(1) = x 0 kaldes en cirkulær sløjfe i x 0 [2] . Hver cirkulær løkke i punktet x 0 kan associeres med en løkke i rummet X på samme punkt ved at tage sammensætningen l med afbildningen I → S 1 givet af formlen t →e 2πit . Enhver løkke kan opnås fra en cirkulær løkke på denne måde.

Cirkulære sløjfer kaldes homotopiske (eller tilsvarende ), hvis de er {1}-homotopiske (det vil sige, hvis homotopien mellem dem er forbundet i et punkt 1 ∈ S 1 ). De tilsvarende ækvivalensklasser kaldes homotopi-løkkeklasser.

Et ikke-tomt topologisk rum kaldes simpelthen forbundet , hvis det er stiforbundet, og hver sløjfe i det er homotop til en konstant sløjfe [2] .

Sættet af homotopiklasser af sløjfer ved et punkt danner en gruppe med stisammensætningsoperationen. Denne gruppe kaldes den fundamentale gruppe af rummet X i det markerede punkt x 0 .

Mængden af ​​alle sløjfer i X danner et rum kaldet sløjferummet af X [1] .

Se også

Noter

  1. 12 Adams , 1978 , s. 3.
  2. 1 2 Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov, 2010 , s. 232-234.

Litteratur