Fødsels- og destruktionsoperatører

Skabelse- og udslettelsesoperatorer er matematiske operatorer , der er meget brugt i kvantemekanik , især i studiet af kvanteharmoniske oscillatorer og mange-partikelsystemer [1] . I kvantefeltteorien har kvantiserede felters bølgefunktioner en operatorbetydning og opdeles i operatorer til skabelse og udslettelse af partikler [2] . Udslettelsesoperatoren (normalt betegnet ) reducerer antallet af partikler i en given tilstand med én. Skabelseoperatoren (normalt betegnet ) øger antallet af partikler i en given tilstand med én, den er konjugeret ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dolk }$ til dræberoperatøren. Disse operatorer bruges i stedet for bølgefunktioner i mange områder af fysik og kemi ( anden kvantisering ). Begrebet skabelse og tilintetgørelsesoperatører blev introduceret i videnskaben af Paul Dirac [3] .

Skabelse- og udslettelsesoperatører kan påvirke tilstanden af forskellige typer partikler. For eksempel, i kvantekemi og mange-legeme-teori , påvirker skabelses- og udslettelsesoperatører ofte elektroniske tilstande. De kan også referere specifikt til stigeoperatorer for den kvanteharmoniske oscillator . I sidstnævnte tilfælde tolkes stignings- (reduktions-)operatoren som en skabelses- (destruktions-)operator, der tilføjer (fjerner) et energikvante til (fra) oscillatorsystemet/-systemerne. De kan bruges til at repræsentere fononer .

Matematikken for bosonskabelsen og udslettelsesoperatorerne er den samme som for de kvanteharmoniske oscillatorstigeoperatorer . For eksempel er kommutatoren for skabelses- og udslettelsesoperatørerne forbundet med den samme bosontilstand lig med én, mens alle andre kommutatorer forsvinder. Men regnestykket er anderledes for fermioner , idet man bruger antikommutatorer i stedet for kommutatorer [4] .

Definition

Lad være en en-partikel Hilbert-rum (det vil sige ethvert Hilbert-rum, der anses for at repræsentere tilstanden af en enkelt partikel). ( En bosonisk KKS-algebra over et Hilbert-rum er en algebra med adjoint-operatorer (angivet med * ) abstrakt genereret af elementer , hvor tilhører , under hensyntagen til relationerne: $H$ $H$ $a(f)$ $f$ $H$

[a(f),a(g)]=[a^{\dolk }(f),a^{\dolk }(g)]=0

[a(f),a^{\dolk }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,

i bh og ket notation .

Kortlægningen fra til KKS bosonisk algebra skal være kompleks antilineær . Konjugatet til elementet er , og afbildningen er kompleks lineær i H . Det bruges således som et komplekst vektorunderrum af sin egen CCR-algebra. I repræsentationen af denne algebra vil elementet blive implementeret som en udslettelsesoperator og som en skabelsesoperator. $a:f\to a(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dolk }(f)$ $f\to a^{\dolk }(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dolk }(f)$

I det generelle tilfælde er KKS-algebraen uendelig-dimensionel. Hvis vi tager en fuldførelse af et Banach-rum, bliver det en C*-algebra . KKS-algebraen over er nært beslægtet, men ikke identisk med Weil-algebraen . $H$

For fermioner er den (fermioniske) CAS-algebra over konstrueret på samme måde, men bruger i stedet antikommutationsrelationer , nemlig $H$

\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dolk}(f),a^{\dolk}(g)\}=0

\{a(f),a^{\dolk }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .

En CAS-algebra er kun finit-dimensional, hvis den er finit-dimensional. Hvis vi tager en fuldførelse af et Banach-rum (kun nødvendigt i det uendeligt-dimensionelle tilfælde), bliver det en algebra. CAS-algebra er tæt beslægtet med , men ikke identisk med, Clifford-algebra . $H$ $C^{*}$

Operatørens fysiske betydning er at ødelægge partiklen i tilstanden, mens den skaber partiklen i tilstanden . $a(f)$ $|f\rangle$ $a^{\dolk }(f)$ $|f\rangle$

Vakuumtilstanden af det frie felt er tilstanden uden partikler, karakteriseret som: $\left|0\right\rangle$

a(f)\left|0\right\rangle =0.

Hvis normaliseret så , så giver antallet af partikler i tilstanden . $|f\rangle$ $\langle f|f\rangle =1$ $N=a^{\dolk }(f)a(f)$ $|f\rangle$

Oprettelse og tilintetgørelsesoperatorer i kvantefeltteorier

I kvantefeltteorier og mange-kropsproblemet bruges skabelses- og udslettelsesoperatørerne for kvantetilstande og . Disse operatorer ændrer egenværdierne for partikelnummeroperatoren , $a_{i}^{\dolk }$ ${\displaystyle a_{i}^{\,))$

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dolk }a_{i}^{\,}

enhed, analogt med den harmoniske oscillator. Subscripts (for eksempel ) repræsenterer kvantetal , som angiver enkeltpartikeltilstande i systemet; derfor er de ikke nødvendigvis enkelttal. For eksempel bruges en tupel af kvantetal til at repræsentere tilstande i brintatomet . $jeg$ $(n,l,m,s)$

Kommuteringsrelationerne for oprettelses- og tilintetgørelsesoperatørerne i et system med flere bosoner er,

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dolk }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dolk }-a_{j}^ {\dolk }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dolk },a_{j}^{\dolk }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

hvor er kommutatoren og er Kronecker-symbolet . $[\ \ ,\ \ ]$ $\delta _{{ij}}$

For fermioner er kommutatoren erstattet af en antikommutator , ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \))$

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dolk }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dolk }+a_{j }^{\dolk }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{a_{i}^{\dolk},a_{j}^{\dolk }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\} =0.

Derfor vil udveksling af ikke-overlappende (dvs. ) operatører i oprettelses- eller annihilationsoperatører ændre fortegn i fermionsystemer, men ikke i bosonsystemer. $i\neq j$

Hvis tilstandene angivet med i er en ortonormal basis for et Hilbert-rum H , så er resultatet af denne konstruktion det samme som konstruktionen af CCR-algebraen og CAR-algebraen i det foregående afsnit. Hvis de repræsenterer egenvektorer svarende til det kontinuerlige spektrum af en eller anden operator, som for ubundne partikler i QFT, så er fortolkningen mere subtil.

Se også

Fock plads
Segal–Bargman space
Optisk faserum
Bogolyubov transformation
Holstein-Primakov transformation
Jordan-Wigner transformation
Kortlægning af Jordan
Klein transform
Kanonisk kommuteringsforhold

Noter

↑ Feynman, 1975 , s. 175.
↑ Bogolyubov, 1957 , s. 69.
↑ Dirac, PAMD (1927). Kvanteteorien om emission og absorption af stråling , Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
↑ Feynman, 1975 , s. 200-201.

Litteratur

R. Feynman . Statistisk mekanik. - M . : Mir, 1975. - 407 s.
N.N. Bogolyubov og D.V. Shirkov . Introduktion til teorien om kvantiserede felter. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1957. - 441 s.