Beam (matematik)

En bunke er en struktur, der bruges til at etablere relationer mellem lokale og globale egenskaber eller karakteristika ved et matematisk objekt. Skiver spiller en væsentlig rolle i topologi , differentialgeometri og algebraisk geometri , men har også anvendelser inden for talteori , analyse og kategoriteori .

Intuitiv definition

Groft sagt er en bunke på et topologisk rum givet af data af to typer med to yderligere egenskaber. $F$ $x$

Den første del af dataene er indeholdt i en mapping, der kortlægger hver åben delmængde af rummet til et eller andet (abstrakt) sæt . Derudover kan vi kræve, at der er givet en vis struktur på dette sæt, men indtil videre begrænser vi os til, at dette blot er et sæt. $U$ $x$ $F(U)$

Den anden del af dataene er, at der for hvert par åbne sæt er en vis mapping fast , kaldet indsnævring . (Det virker på samme måde som operationen med at indsnævre rækken af funktioner defineret på ) $V\undersæt U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\til F(V)$ $V$ $U.$

Det er også påkrævet, at disse data har følgende to egenskaber:

Normaliseringsaksiom : - et sæt af et enkelt element. $F(\varnothing)$
Limningsaksiom : hvis der er givet et konsistent system af elementer(konsistens betyder, at elementerneoghar samme begrænsning på arealet), så bestemmer de entydigt elementetfra(hvor er foreningen af alle), hvis begrænsninger på det tilsvarende areal er allesammen. $x_{i}\in F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $x$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Eksempler

Funktionsbundter

Hovedeksemplet er en bunke af kontinuerte funktioner på et topologisk rum X. Begrænsningen af en kontinuert funktion til en åben delmængde er en kontinuerlig funktion på denne delmængde, og en funktion defineret delvist på åbne delmængder kan gendannes på deres forening.

Mere præcist betegner vi for hver åben delmængde af rummet sættet af alle kontinuerlige funktioner med reel værdi . Givet et åbent sæt indeholdt i og en funktion fra , kan vi indsnævre funktionens omfang til et sæt og få en funktion . Begrænsningen er en kontinuerlig funktion på ; derfor er den et element i sættet . Således er begrænsningstilknytningen defineret . $U$ $x$ $F(U)$ $f:U\til {\mathbb {R}}$ $V$ $U$ $f$ $F(U)$ $f$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\til F(V)$

Normaliseringsaksiomet er naturligvis opfyldt, da der kun er én kontinuerlig funktion fra det tomme sæt i R - den tomme funktion . For at vise, at limningsaksiomet også er gyldigt, antager vi, at vi får et konsistent system af kontinuerlige funktioner , . Det betyder, at begrænsningerne for funktionerne og på sættet skal være sammenfaldende. Lad os nu definere funktionen som følger: da er foreningen af alle , er hvert punkt af dækket af et sæt for nogle . Lad os definere værdien af funktionen i punktet lig med . Denne definition er korrekt: hvis den også ligger i , så ved konsistensbetingelsen , så det er ligegyldigt, hvilken af disse funktioner der skal bruges til at bestemme . Desuden er funktionen kontinuert på punktet , da den i dens nabolag falder sammen med den kontinuerte funktion . Som følge heraf er funktionen kontinuerlig ved hvert punkt fra , det vil sige kontinuerlig ved . Desuden er den eneste kontinuerlige funktion, hvis begrænsning til domænet falder sammen med , da funktionen er fuldstændig bestemt af dens værdier ved punkterne. Som en konsekvens heraf er der én og kun én funktion limet fra funktioner , nemlig . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb {R}}$ $i\i I$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\til {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $x$ $U$ $U_{i}$ $jeg$ $f$ $x$ $rette op)$ $x$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $f$ $x$ $U_{i}$ $rette op)$ $f$ $U$ $U$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $f$

Faktisk er det resulterende bundt ikke bare et bundt sæt. Da kontinuerlige funktioner kan tilføjes punktvis for at få kontinuerlige funktioner igen, er denne bunke også en bunke af abelske grupper . Da de også kan multipliceres, er denne bunke en bunke af kommutative ringe . Da kontinuerte funktioner på en mængde danner et vektorrum over R , er dette felt et felt af algebraer over R.

Skiver af løsninger til differentialligninger

For nemheds skyld vil vi arbejde med mellemrummet R . Antag , at der er givet en differentialligning på R , og der søges glatte løsninger, det vil sige glatte funktioner , der opfylder denne ligning. Det foregående eksempel beskrev, hvordan en bunke af kontinuerlige funktioner på R er opbygget . En lignende konstruktion bogstaveligt talt med ordene "kontinuerlig" erstattet af ordene "glat" kan bruges til at konstruere en bunke af glatte funktioner på R . Lad os betegne dette bundt med . er et sæt af glatte funktioner . Nogle elementer er løsninger til ligningen . Det viser sig, at disse løsninger i sig selv danner et bundt. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\til {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F=0$

For hvert åbent sæt , lad være sæt af glatte funktioner, sådan at . Constraint mappings er stadig funktionsbegrænsninger, ligesom i . alt består også af en tom funktion. For at teste limningsaksiomet, lad være et sæt åbne sæt og være deres forening. Lad være elementer konsistente ved skæringspunkter, det vil sige . Lad os definere det på samme måde som før: altid når det er defineret. For at være sikker på, at det stadig er en løsning på differentialligningen, skal du bemærke, at den opfylder den i hvert af sætene , da det dér falder sammen med funktionen . Derfor er der en løsning på ligningen . For at kontrollere, hvad der er unikt, bemærk som før, hvad der bestemmes af dets værdier ved punkterne, og disse værdier skal matche værdierne ved . Så, er den eneste limning af funktioner , så der er en bøjle. $U$ $H(U)$ $y:U\til {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\prikker )=0$ $G$ $H(\varnothing)$ $\{U_{i}\},i\in I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $f$ $f(x)=f_{i}(x)$ $rette op)$ $f$ $f$ $U_{i}$ $rette op)$ $f$ $F=0$ $f$ $f$ $rette op)$ $U_{i}$ $f$ $\{f_{i}\}$ $H$

Bemærk, at der er indeholdt i for evt . Desuden, hvis er et element af , og er et åbent sæt indeholdt i , så vil resultatet af at anvende restriktionskortet på funktioner i blyanten være det samme som i blyanten . I sådanne tilfælde siges skjolden at være en underskære af hylstret . $H(U)$ $G(U)$ $U$ $f$ $H(U)$ $V$ $U$ $V$ $f$ $H$ $G$ $H$ $G$

Afhængigt af differentialligningen kan det ske, at tilføjelse af to løsninger af denne ligning igen giver sin løsning - for eksempel hvis lineær. I dette tilfælde vil det være en bunke af grupper med en gruppeoperation givet ved punktvis tilføjelse af funktioner. Men i det generelle tilfælde - bare en bunke af sæt, og ikke en bunke af grupper eller ringe. $F$ $F$ $H$ $H$

Skive af vektorfelter

Lad være en glat manifold . Vektorfeltet på kortlægger hvert punkt til en vektor fra tangentrummet til punktet . Det kræves, at det afhænger gnidningsløst af . Lad os definere en bunke , der vil bære information om vektorfelter på . For hvert åbent sæt skal du betragte som en jævn manifold og lade være sættet af alle (glatte) vektorfelter på . Med andre ord er der et sæt funktioner , der kortlægger et punkt til en vektor fra , jævnt afhængigt af det. Da det er åbent, . Vi definerer begrænsningstilknytninger som begrænsninger af vektorfelter. $M$ $V$ $M$ $x$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $x$ $V(x)$ $x$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $V$ $x$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

For at vise, at der er en bunke, skal du først bemærke, at den kun består af én tom funktion, da der ikke er nogen punkter i det tomme sæt. Lad os nu kontrollere limningsaksiomet. Lad , være et sæt af åbne sæt, og U være deres forening. På hvert åbent sæt vælger vi et vektorfelt og antager, at disse felter er konsistente i skæringspunkter, dvs. Nu definerer vi et nyt vektorfelt V på U som følger: for enhver x fra U skal du vælge , der indeholder x . Lad os definere V(x) som . Da felterne er konsistente ved skæringspunkter, er V veldefineret. Desuden er V(x) en tangentvektor fra , afhængigt jævnt af x , da den afhænger jævnt af x og "glat afhængighed" er en lokal egenskab. Endelig er V den eneste mulige limning af felterne , da V er unikt bestemt af dens værdier ved hvert punkt x , og disse værdier skal matche værdierne af feltet på . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnothing)$ $\{U_{i}\}$ $i\i I$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Man kan give en anden definition af skær ved hjælp af tangentbundtet TM af manifolden M . Overvej en naturlig projektion , der kortlægger et punkt x til et par (x, v) , hvor x er et punkt på M og v er en vektor fra . Et vektorfelt på et åbent sæt U er det samme som et udsnit af projektionen p , det vil sige en jævn afbildning , således at , hvor er identitetskortlægningen på U . Med andre ord, sektionen s forbinder et punkt x med et par (x, v) på en jævn måde. Kortlægningen s kan ikke associere et punkt x med et par (y, v) med , på grund af betingelsen . Dette giver os mulighed for at repræsentere tangentbundtet som et bundt af sektioner af et tangentbundt. Med andre ord, for enhver U er der et sæt af alle sektioner af projektionen p , og restriktionskortene er den sædvanlige begrænsning af funktioner. Analogt kan man konstruere en bunke af sektioner af enhver kontinuerlig kortlægning af topologiske rum. $\mathcal{T}$ $p:TM\til M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(U)$

En bunke er altid en bunke af grupper med punktvise vektoradditionsoperationer. Men der er normalt ingen bunke af ringe, da multiplikationsoperationen ikke er naturligt defineret på vektorer. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Formel definition

Det første trin i at definere begrebet en sheaf er at definere begrebet en presheaf , som omfatter de datarum, der er knyttet til hver åben delmængde af et topologisk rum, og operationerne med at begrænse disse data fra større til mindre delmængder. På det andet trin pålægges yderligere begrænsninger - kravene til tilfredsstillelsen af aksiomerne for normalisering og limning. En hylster, der opfylder disse krav, er en hylster.

Definition af en presheaf

Lad være et topologisk rum og C være en kategori . En presheaf med værdier i kategori C er givet over et mellemrum, hvis [1] : $x$ $x$ $F$

Hver åben undergruppe i er forbundet med F(U) - et objekt i kategori C . $U$ $x$
Hver inklusion af åbne sæt er forbundet med en morfisme af objekter i kategori C : $V\undersæt U$

\rho _{{VU}}\colon F(U)\til F(V)

Disse morfismer kaldes restriktionsmorfismer . Helheden af disse morfismer skal opfylde følgende betingelser:

For ethvert åbent sæt er objektets identitetsmorfisme . $U$ $\rho _{UU}$ $F(U)$
For hver dobbelt inklusion er ligheden $W\undersæt V\undersæt U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Den sidste betingelse betyder, at det skal være ligegyldigt, om vi begrænser dataene fra område til område direkte, eller i to faser - med en foreløbig begrænsning på , og fra det allerede - på . $U$ $W$ $V$ $W$

Presheaves i kategoriteori

En meget kompakt definition af en presheaf opnås med hensyn til kategoriteori. Først defineres kategorien O(X) af åbne mængder af rummet X , hvis objekter er åbne undermængder af X , og mængden af morfismer af et objekt V i denne kategori til et objekt U i det tilfælde, hvor V er en undermængde af U , består af en enkelt morfisme - kortlægningen af inklusion V i U , og tom ellers. Så er en presheaf over et mellemrum X med værdier i kategorien C en hvilken som helst kontravariant funktion F fra kategorien O(X) til kategorien C . En sådan definition af en presheaf tillader yderligere generalisering, når man betragter funktiontorer i C , ikke nødvendigvis fra en kategori af formen O(X) (se presheaf (kategoriteori) ).

Hvis et forhylde F er givet over et mellemrum X med værdier i kategorien C , og U er en åben delmængde af X , så kaldes objektet F(U) sektionsrummet af forhyldet F over mængden U . Hvis C er en specifik kategori , så kaldes hvert element i mængden F(U) en sektion af hylstret F over U , analogt med sektioner af fibermellemrum og hylstrets étale-rum ( se nedenfor ). En sektion over X kaldes en global sektion . Sektionsbegrænsningen betegnes normalt som . F(U) betegnes også ofte som , især i forbindelse med sheaf cohomology theory , hvor domænet U er fast og sheaf F er variabel. $\rho _{VU}(er)$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U,F)$

Definition af en bunke

Et hylster er et forhylde, hvor 2 aksiomer [2] holder .

$F(\varnothing)$ er et terminalobjekt af kategori C .

For at aksiomet skal give mening, skal kategori C selvfølgelig have et terminalobjekt. I praksis er dette normalt tilfældet.

Et vigtigere aksiom er dog limningsaksiomet . Husk på, at i eksemplerne diskuteret ovenfor krævede dette aksiom, at det sæt af data (sektioner af bunken), der er konsistente i skæringspunkterne mellem deres definitionsdomæner, altid tillader (yderligere unikt) deres limning - et afsnit over foreningen af åbne sæt over hvilke dette afsnit er givet som om delvist. For nemheds skyld formulerer vi limningsaksiomet i det tilfælde, hvor C er en konkret kategori. For den generelle sag, se artiklen " limningsaksiom ".

Lad være et sæt af åbne mængder i rummet X , og lad U være deres forening. Lad en sektion af et (for)skjold F blive givet over hver af dem . Et sæt af disse sektioner kaldes kompatible hvis for enhver i og j $U_{i}$ $s_{i}\in F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

Limningsaksiomet for F er opfyldt hvis

hvert sæt konsistente snit definerer et unikt snit , således at for hver i . $s_{i}$ $s\i F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Sektionen s kaldes limning ( eng. limning, sammenkædning, kollation ) af sektioner , da den så at sige er limet sammen fra mindre sektioner. $s_{i}$

I eksemplerne ovenfor svarede visse funktioner til bjælkernes tværsnit. I sådanne tilfælde starter limningsaksiomet fra funktioner , der falder sammen i skæringspunkter og hævder eksistensen af en unik funktion f , der samtidig udvider alle funktioner til mængden U , lige hvad der blev vist i disse eksempler for at bevise, at en bunke faktisk blev præsenteret i dem . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

Ofte er limningens aksiom opdelt i to dele - eksistensens aksiom og unikhedens aksiom. Presheaves, der kun opfylder aksiomet om unikhed, kaldes separable ( engelsk adskilte ) presheaves.

Flere eksempler

Da skiver præcis indeholder de data, der er nødvendige for at flytte fra lokale til globale situationer, er der mange eksempler på skiver, der forekommer i matematik. Her er nogle yderligere eksempler på bundter:

Enhver kontinuerlig kortlægning af topologiske rum definerer en række af sæt. Lad f : Y → X være et kontinuerligt kort. Vi definerer bunken som lig med sættet af alle sektioner af kortlægningen , dvs. er sættet af alle afbildninger s : U → Y , således at begrænsningsmorfismerne er givet ved den sædvanlige begrænsning af afbildningen til delmængder af definitionsdomænet . Denne remskive kaldes bunken af sektioner af f , og er især vigtig, når f er projektionen af fiberrummet på rummet af dets base. Det skal bemærkes, at i det tilfælde, hvor billedet af f ikke indeholder U fuldstændigt, er sættet tomt. Som et konkret eksempel kan du tage og . Så er der mange grene af logaritmen over sættet . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $f|_{U}:U\til Y$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \backslash 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $U$
Lad M være en C k -manifold (en manifold af glathed k). For hver åben delmængde U i M definerer vi U → R som mængden af alle C k -glatte funktioner . Restriktionsmorfismer er almindelige funktionsrestriktioner. Så er der en bunke af ringe med addition og multiplikation givet ved punktvis addition og multiplikation af funktioner. Denne bunke kaldes strukturskive af M . ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
For hver j ≤ k defineres også en bunke over M , kaldet bunken af j -gange kontinuerligt differentierbare funktioner på M . er en underskive af skiven , som på et åbent sæt U definerer mængden af alle C j -funktioner på U . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
En række af funktioner uden nuller er defineret over M. Det vil sige, at for hver U er der mængden af alle funktioner med realværdi på U , som ikke forsvinder. Dette er en bunke af grupper med en gruppeoperation givet ved punktvis multiplikation af funktioner. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }(U)$
M har også en cotangensskive Ω M . På hvert åbent sæt U , Ω M ( U ) er der et sæt grad 1 differentialformer på U . Begrænsningsmorfismer er de sædvanlige begrænsninger af differentielle former. Tilsvarende defineres for enhver p > 0 kæden Ω p af differentielle p-former.
Hvis M er en jævn manifold, for hvert åbent sæt U , er sættet mængden af alle realværdifordelinger ( generaliserede funktioner ) på U. Begrænsninger er fastsat ved begrænsning af funktioner. Så bliver det til et bundt af generaliserede funktioner . ${\mathcal {DB}}(U)$ ${\mathcal {DB}}$
Lad X være en kompleks manifold og U en åben delmængde af X , defineret som mængden af holomorfe differentialoperatorer af finit orden på U . Ved at specificere begrænsningen som en almindelig funktionsbegrænsning opnår vi en remskive kaldet kæden af holomorfe differentialoperatorer . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Vi fikserer et punkt x fra X og noget objekt S i kategori C . En skyskraberskive over x med fiber S er en remskive S x , defineret som følger: Hvis U er et åbent sæt, der indeholder x , så er S x ( U ) = S , ellers er S x ( U ) et terminalobjekt af kategori C. Restriktionskort er henholdsvis enten identitetsmorfismen for et objekt S , hvis begge åbne sæt indeholder x , eller den samme unikke morfisme af S til et terminalobjekt af kategorien C .

Nogle matematiske strukturer er defineret som mellemrum med et fast skær på. For eksempel kaldes et mellemrum med en flok ringe over (på) et ringmærket mellemrum . Hvis alle fibre (se nedenfor) i en bunke er lokale ringe , så er dette et lokalt ringmærket rum . Hvis sektioner af en bunke af lokale ringe er lokalt repræsenterede som elementer i en kommutativ ring, får vi skemaet .

Her er 2 eksempler på forskiver, der ikke er skiver:

Lad være et topunkts topologisk rum med diskret topologi. Vi definerer presheaf F som følger: Constraint mapping er projektionen fra på den første komponent, og constraint mapping er projektionen på den anden komponent. er en presheaf, der ikke kan adskilles: enhver global sektion er defineret af tre tal, men sektioner over (åbne sæt) og definerer kun to af dem. Selvom det er muligt at lime hvilke som helst to sektioner givet over punkter , er der ingen unikke ved en sådan limning. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\til F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\til F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Lad X være et komplekst plan , og for dets åbne delmængder U sætter vi F ( U ) sættet af afgrænsede holomorfe funktioner på U med de sædvanlige restriktionsafbildninger. Dette vil ikke være en bjælke, da limning i dette tilfælde ikke altid er mulig. Lad f.eks. U r være en åben disk | z | < r . Funktionen f ( z )= z er afgrænset på hver disk U r . Derfor får vi konsistente afsnit s r på U r (som er begrænsninger af funktionen f ( z ) på U r ). De tillader dog ikke limning, da funktionen f ikke er afgrænset på hele det komplekse plan. Derfor er F et hylster, men ikke et hylster. Bemærk, at F kan adskilles, fordi det er en underskive af hylstret af holomorfe funktioner på X.

Sheaf morfismer

Fordi skiver indeholder data forbundet med hver åben undergruppe af X , er en sheaf-morfisme defineret som et sæt af kortlægninger, en for hvert åbent sæt, der opfylder nogle konsistensbetingelser.

Skive er forskiver af en særlig art, ligesom abelske grupper er et specialtilfælde af grupper (skiver udgør en komplet underkategori i kategorien forskiver). Med andre ord, en morfisme af skiver er det samme som en morfisme i kategorien presheaves, men mellem objekter, der er skiver; limningsaksiomet bruges ikke på nogen måde i definitionen af en morfisme.

Sheaf-morfismer over ét mellemrum

I dette afsnit er alle skiver defineret over rummet X og tager værdier i en fast kategori C (når vi taler om kernen og kokkernen af morfismer, antager vi, at C er en Abelsk kategori ).

Lad og være to sådanne bundter. En morfisme af C-skiver på X associerer med hvert åbent sæt U af X en morfisme , således at alle disse morfismer er kompatible med hinanden og med restriktionsafbildningerne i begge skiver. Med andre ord, for hvert åbent sæt V og dets åbne undersæt U , er der et kommutativt diagram : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Denne konsistensbetingelse betyder, at hver sektion s af kæden G over et åbent sæt V er forbundet med en sektion over V i kæden F , og deres begrænsninger til en åben undergruppe U af mængden V er relateret af en morfisme . (Begrænsningen til V -billedet af et afsnit s er det samme som -billedet af dets begrænsning til V .) $\varphi _{V}(r)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Den simple kendsgerning, at en morfisme af skiver er en isomorfi (det vil sige har en omvendt morfisme), præcis når alle morfismer er isomorfier (reversible). Det samme gælder for monomorfismer og ikke sandt for epimorfismer . Dette skyldes det faktum, at kernen i en morfisme af skiver altid er en hylster, mens billedet og kokernen måske ikke er det (men vil altid være adskillelige presheaves). Se artiklen " Cohomology of sheaves ". $\varphi _{U}$

Sheaf-morfismer over forskellige rum

Yderligere tager skiver værdier i en fast kategori C , men kan defineres over forskellige rum.

Lad X og Y være topologiske rum med skiver O X og O Y defineret på dem . Morfismen af et par ( X , O X ) til ( Y , O Y ) er givet af følgende data:

Kontinuerlig kortlægning f : X → Y
en familie af C - morfismer φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) for hver åben delmængde V af rummet Y , der pendler med restriktionsafbildninger. Det vil sige, at hvis V 1 ⊂ V 2 er to åbne delmængder af Y , skal følgende diagram være kommutativt (lodrette pile er delmængderestriktionsmorfismer):

Denne definition er også velegnet til at definere en morfisme af presheaves over forskellige rum.

Sheaf forbundet med presheaf

Det er ofte nyttigt at repræsentere de data, der danner forbjælken ved hjælp af en remskive. Det viser sig, at der er en meget praktisk procedure, der giver dig mulighed for at gøre dette. Tag et hylstre og konstruer et nyt hylster , kaldet det hylstre, der er forbundet med hylstret . kaldes en associeret sheaf functor ( engelsk sheaving functor, sheafification functor, tilhørende sheaf functor ). Der er en naturlig presheaf-morfisme med den universalitetsegenskab, at der for enhver sheaf- og presheaf-morfisme eksisterer en enestående korvmorfisme, sådan at . Faktisk er der en tilstødende funktion til indlejringsfunktionen af kategorien af skiver i kategorien af presheaves, og der er en konjugationsenhed . $F$ $aF$ $F$ $-en$ $i:F\til aF$ $G$ $f:F\til G$ ${\tilde f}:aF\to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $-en$ $jeg$

Kim af bjælkesektioner

Laget af skærve giver mulighed for at beskrive egenskaberne af skæret "nær" punktet x ∈ X . Her betyder "nær", at vi ser på det mindst mulige naboskab af punktet. Selvfølgelig er intet kvarter lille nok i sig selv, men vi kan overveje deres grænse (eller mere præcist, colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Laget over punkt x er defineret som

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

den direkte grænse for alle kvarterer af punktet x . Med andre ord er et element i laget en sektion af bunken i et eller andet kvarter x , og to sådanne sektioner svarer til ét element i hylstret, hvis de har den samme begrænsning på et eller andet område af punktet x .

Den naturlige morfisme F ( U )→ Fx tager et afsnit s i et kvarter af F ( U ) til dets kim . Dette generaliserer den sædvanlige definition af en kim .

Historie

I 1936 foreslog P. S. Aleksandrov en konstruktion af en dækkende nerve , der forbinder en vilkårlig åben dækning med et simpelt kompleks .
I 1938 gav Hassler Whitney en 'moderne' definition af kohomologi, der opsummerede det arbejde, der er udført siden Alexander og Kolmogorov definerede cochains .
I 1945 offentliggjorde Jean Leray resultaterne af arbejde udført i tysk fangenskab, som gav anledning til teorien om stråler og spektralsekvenser .
I 1948, på et Cartan- seminar, blev begyndelsen af teorien om skiver først skrevet ned i sin helhed.
I 1950, på Cartan-seminaret, blev der foreslået en "anden version" af teorien om skiver - definitionen af etale-rummet for en hylster og strukturen af lagene er brugt. Samtidig fremsatte Kiyoshi Oka
I 1954 skrev Serre papiret Faisceaux algébriques cohérents (udgivet 1955), som markerede begyndelsen på brugen af skiver i algebraisk geometri . Hans ideer blev straks taget op af Hirzebruch , som i 1956 skrev en større bog om topologiske metoder i algebraisk geometri.
I 1955 definerer Grothendieck i sine forelæsninger i Kansas den abelske kategori og presheaf, og gør det ved hjælp af injektive resolutioner muligt at bruge skivers kohomologi i et arbitrært topologisk rum som afledte funktorer .
I 1957 udvikler Grothendieck teorien om skiver i overensstemmelse med algebraisk geometris behov, idet han introducerer begreberne: skemaer og generelle skiver til den, lokal kohomologi , afledte kategorier og Grothendieck-topologier .

Se også

Topoi teori

Noter

↑ Schwartz, 1964 , s. 181.
↑ Schwartz, 1964 , s. 180.

Litteratur

Bredon, Glen E. (1997) Sheaf theory - vol. 170 (2. udgave), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (orienteret mod konventionelle topologiske applikationer) (engelsk)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux - Paris: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Topologiske metoder i algebraisk geometri - Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (opdateret udgave af en klassiker, der bruger nok sheaf-teori til at vise dens magt )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Skive på manifolds - vol. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (avancerede teknikker såsom den afledte kategori og de mest forsvindende cyklusser rimelige mellemrum (engelsk)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Skive i geometri og logik - Universitex, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( kategoriteori og toposer understreget)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, bind 61, nr. 2). — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves - University of Chicago Press (kortfattede forelæsningsnotater) (engelsk)
Tennison, BR (1975) Sheaf theory - Cambridge University Press , MR 0404390 (pædagogisk behandling )
Schwartz L. Komplekse analytiske manifolder. Elliptiske ligninger med partielle afledte. - M . : Mir, 1964. - 212 s.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203