Lineær funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Lineær funktion - formens funktion

y=kx+b

(for funktioner af en variabel).

Den vigtigste egenskab ved lineære funktioner er, at stigningen af funktionen er proportional med stigningen af argumentet. Det vil sige, at funktionen er en generalisering af direkte proportionalitet .

Grafen for en lineær funktion er en ret linje , hvorfor dens navn er forbundet. Dette vedrører en reel funktion af en reel variabel.

I tilfælde kaldes lineære funktioner homogene (dette er i det væsentlige et synonym for direkte proportionalitet), i modsætning til ikke - homogene lineære funktioner . $b=0$ $b\neq 0$

Egenskaber

$k$ ( linjens hældning ) er tangenten til den vinkel , som linjen laver med x - aksens positive retning , og kan findes ud fra formlen . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi}{2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
Når , danner linjen en spids vinkel med x -aksens positive retning . $k>0$
Når , danner linjen en stump vinkel med x - aksens positive retning . $k<0$
Ved er den rette linje parallel med x- aksen . $k=0$

Vinklen mellem to rette linjer givet af ligningerne og bestemmes af ligheden: hvor , det vil sige, at linjerne ikke er indbyrdes vinkelrette; for og linjerne er parallelle. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$

$b$ er indekset for ordinaten for skæringspunktet mellem linjen og y- aksen .
For , linjen går gennem oprindelsen. $b=0$

En lineær funktion er monoton og ikke -konveks over hele definitionsdomænet , funktionens afledte og antiderivative vil blive skrevet: $(\mathbb {R} )$ $f'(x)$ $F(x)$ $f(x)=kx+b$

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Omvendt funktion til : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Lineær funktion af flere variable

Lineær funktion af variable - funktion af formen $n$ $x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

hvor er nogle faste tal. Definitionsdomænet for en lineær funktion er det aldimensionale rum af reelle eller komplekse variabler . Når en lineær funktion kaldes homogen eller lineær form . $a_{0},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $a_{0}=0$

Hvis alle variabler og koefficienter er reelle tal, så er grafen for en lineær funktion i -dimensionelt rum af variabler et -dimensionelt hyperplan $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n},y$ $n$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

især ved er en lige linje i planet. $n=1$

Abstrakt algebra

Udtrykket "lineær funktion", eller mere præcist, "lineær homogen funktion", bruges ofte til en lineær afbildning af et vektorrum over et eller andet felt ind i dette felt, det vil sige for en sådan afbildning , at for alle elementer og enhver lighed $x$ $K$ $f:X\to K$ $x,y\i X$ $\alpha ,\beta \in K$

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

desuden i dette tilfælde, i stedet for udtrykket "lineær funktion", bruges begreberne lineær funktionel og lineær form også - hvilket også betyder en lineær homogen funktion af en bestemt klasse.

Algebra for logik

En boolsk funktion kaldes lineær, hvis der findes sådan , hvor , at for enhver lighed finder sted: $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ $a_{i}\in \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Ikke-lineære funktioner

For funktioner, der ikke er lineære, skal du bruge udtrykket ikke-lineære funktioner . Det samme gælder for brugen af ordet ikke-lineær i forhold til andre objekter, der ikke har egenskaben linearitet, for eksempel ikke - lineære differentialligninger . Normalt bruges udtrykket, når den funktionelle afhængighed først approksimeres til at være lineær, og derefter fortsætter de til studiet af et mere generelt tilfælde, ofte med udgangspunkt i lavere potenser, for eksempel ved at overveje kvadratiske korrektioner.

Ikke-lineære ligninger er ret vilkårlige. For eksempel er funktionen ikke-lineær . $y=x^2$

I nogle tilfælde kan dette udtryk også anvendes på afhængigheder , hvor , det vil sige til ikke-homogene lineære funktioner, da de ikke har linearitetsegenskaben, nemlig i dette tilfælde og . For eksempel overvejes et ikke-lineært forhold for et materiale med hærdning (se plasticitetsteori ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau)$

Se også

Litteratur

Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 s., ill.