Axiom system model
En aksiomsystemmodel er ethvert matematisk objekt , der svarer til et givet aksiomsystem . Sandheden af et system af aksiomer kan kun bevises ved at konstruere en model inden for rammerne af et andet system af aksiomer, som anses for "sandt". Derudover giver modellen dig mulighed for visuelt at demonstrere nogle af funktionerne i denne aksiomatiske teori .
Om aksiomatiske teorier
En aksiomatisk teori er konstrueret som følger: flere grundlæggende objekter introduceres (i planimetri er disse et punkt , en linje , et plan , "hører til", "er mellem" og bevægelse ). Disse objekter modtager ikke definitioner , men der postuleres en række aksiomer , som forklarer disse objekters egenskaber.
Aksiomatisk teori siger ikke eksplicit, om punkter, linjer og planer eksisterer. Derfor er der to muligheder:
- To modsatte udsagn vil blive udledt af aksiomersystemet. Sådan et system kaldes inkonsistent – det betyder at punkter, linjer og planer ikke eksisterer, hvilket betyder at planimetri heller ikke eksisterer.
- Der vil blive bygget en vis matematisk konstruktion (for eksempel baseret på aritmetik ), inden for hvilken "punkter", "linjer" og "plan" vil blive defineret. Dette vil være planimetrimodellen. Konstruktionen af modellen bekræfter, at systemet af aksiomer er konsistent.
(faktisk er det andet sandt for planimetri, se nedenfor.)
Eksempler
En model for formel logik inden for rammerne af boolsk algebra
- "Variabler" er booleske variabler fra sættet {0,1}.
- Tegnene og er de tilsvarende booleske algebraoperationer.
Ved at erstatte alle mulige A, B, C i aksiomerne sikrer vi os, at alle aksiomer holder i denne model. Sandheden om modus ponens testes på samme måde .
Model af planimetri inden for rammerne af aritmetik
"Punkt" er et par reelle tal .
"Linje" - alle punkter, hvor , hvor og ikke er lig med 0 på samme tid.
"Plane" - alle mulige par af reelle tal .
Lobachevskys geometrimodel i form af planimetri
Den mest interessante model af Lobachevsky-geometri er Poincaré-modellen. "Plan" er det indre af en cirkel , et "punkt" er et punkt, og en "lige" er en ret linje eller en bue vinkelret på cirklen. Vinkler betragtes som i Euklids geometri.
Den fysiske betydning af modellen er som følger. Lad lysets hastighed i en rund "verden" ændre sig fra c i midten til nul ved kanterne ifølge loven (hvilket betyder, at brydningsindekset vil være 1 i midten og ved kanterne). Så vil lyset bevæge sig langs buer vinkelret på grænsen, men vil ikke nå grænsen på en begrænset tid. For indbyggerne vil denne "verden" virke uendelig, og de vil tage Lobachevskys geometri på tro.
