Kravchuk matricer

Kravchuk - matricer er matricer, hvis elementer er værdierne af Kravchuk-polynomier ved ikke-negative heltalspunkter. [1] [2]

K_{ij}^{(n)}=\Sigma _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k)){\binom {nj}{ik))

Eksempler på de første par matricer:

$K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1& -1\end{array}}\right]\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}} \right]\qquad K^{(3)}=\venstre[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{ array}}\right]$

$K^{(4)}=\venstre[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1 \end{array}}\right]\qquad K^{(5)}=\venstre[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&10\\ 10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right]$

$K^{(6)}=\left[{\begin{array}{rrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1\\6&4&2&0&-2&-4&-6\\15&5&-1&-3&-1&5&15\\20&0&-4&0&4&\\ \15&-5&-1&3&-1&-5&15\\6&-4&2&0&-2&4&-6\\1&-1&1&-1&1&-1&1\end{array}}\right].$

Generelt for en vilkårlig positiv n kan matrixelementerne beregnes ved hjælp af funktionen ${\displaystyle K_{ij}^{(n)))$

${\displaystyle (1+v)^{nj}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(n)))$

hvor heltalsindeksene i og j varierer fra 0 til n.

Noter

↑ N. Bose, "Digital Filters: Theory and Applications" [North-Holland Elsevier, NY, 1985 ]
↑ P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices, Recent advances in applyed probability , Springer-Verlag, oktober, 2004 Arkiveret 14. april 2012 på Wayback Machine

Kravchuk matricer

Noter

Links