Metrisk træ

Et metrisk træ (eller -træ) er en bestemt type metriske rum . De er de enkleste eksempler på hyperbolske rum i betydningen Gromov ; de kan defineres som 0-hyperbolske rum i betydningen Gromov , dvs. alle deres trekanter er nul-tynde . $\mathbb {R}$

De opstår naturligt i geometrisk gruppeteori og sandsynlighedsteori .

Definition

Et geodætisk rum er et metrisk træ, hvis det er et rum, hvor hver trekant er et stativ; med andre ord, hvis der for hver trekant er et punkt, der ligger på alle tre geodætikker . $x$ $[xyz]$ $s$ $[xy],[yz],[zx]$

Egenskaber

Et geodætisk rum er et metrisk træ, hvis og kun hvis følgende ulighed gælder for fire punkter: $x$ $p,q,x,y\in X$ $|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{\,|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+ |qx|_{X}\,\},$

hvor angiver afstanden mellem punkter og i metrisk rum .

|pq|_{X}

s

q

x

Hvis er en sekvens af -hyperbolske mellemrum, og for , så er ultragrænsen et metrisk træ. $X_n$ $\delta _{n}$ $\delta _{n}\to 0$ $n\til\infty$ $X_n$
- Især er keglen ved uendeligheden af et -hyperbolsk rum et metrisk træ. $\delta$

Eksempler

Hvis er en graf med en kombinatorisk metrisk, så er det et metrisk træ, hvis og kun hvis grafen er et træ (det vil sige, har ingen cyklusser). $x$ $x$
En rigtig linje, til hvert punkt limes langs den rigtige linje.