Ultra grænse

En ultragrænse er en konstruktion, der gør det muligt at definere en grænse for en bred klasse af matematiske objekter. Især fungerer det for sekvenser af tal og sekvenser af punkter i et metrisk rum, og tillader generaliseringer til sekvenser af metriske rum og sekvenser af funktioner på dem.

Denne konstruktion bruges ofte for at undgå at hoppe til en efterfølger flere gange.

Denne konstruktion bruger eksistensen af et ikke -principielt ultrafilter , hvis bevis igen bruger det valgte aksiom .

Ikke-principielt ultrafilter

Husk på, at et ultrafilter på sættet af naturlige tal er et sæt af delmængder af sættet , som er lukket under driften af skæring og overgang til et supersæt, og for enhver delmængde indeholder det enten , eller komplement . $\omega$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $X\subset \mathbb {N}$ $x$ $\mathbb {N} \backslash X$

Et ultrafilter kaldes non-principal, hvis det ikke indeholder endelige sæt.

Definitioner

Dernæst er et ikke-principielt ultrafilter på sættet af naturlige tal . $\omega$ $\mathbb {N}$

Ultragrænse af point

If er en sekvens af punkter i et metrisk rum , så kaldes punktet -limit , hvis for hver delmængde ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} ))$ $M$ $x_{\omega }\in M$ $\omega$ $(x_{n})$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \{\,n\i \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\))

indeholdt i . $\omega$

I dette tilfælde skriver de og er betegnet med eller med . ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))$ $x_{n}\to x_{\omega }$ $n\to \omega$

Ultrabegrænsning af mellemrum

Lade være en sekvens af metriske rum . Overvej alle mulige sekvenser af punkter . For to sådanne sekvenser definerer vi afstanden som $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $x_{n}\in M_{n}$

|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n)).

Funktionen er en pseudometrisk med værdier i . Det tilsvarende -metriske rum kaldes sekvensens -grænse . $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ $[0,\infty ]$ $\infty$ ${\displaystyle M_{\omega ))$ $\omega$ $M_{n}$

I dette tilfælde skriver de og er betegnet med eller med . ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n))$ $M_{n}\to M_{\omega }$ $n\to \omega$

Ultrapower

Ultragrænsen for en konstant sekvens af metriske rum for et ultrafilter kaldes også en ultragrad, -grad, ultrafuldførelse eller -fuldførelse. Normalt er -graden betegnet med . $M_{n}=M$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $M$ ${\displaystyle M^{\omega ))$

${\displaystyle M^{\omega ))$ falder sammen med kun hvis er kompakt. $M$ $M$

Egenskaber

Hvis -grænsen for en sekvens af punkter eksisterer, så er den unik. $\omega$
Hvis det metriske rum er kompakt, så eksisterer -grænsen for enhver sekvens af punkter og er unik. $\omega$
- Især har enhver afgrænset sekvens af reelle tal en veldefineret -grænse i . $\omega$ $\mathbb {R}$
$\omega$ -grænse for en sekvens er dens private grænse .
- Især hvis , så i standardforstand . ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n))$ ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n))$
Sekvens-ultragrænsen kan være forskellig fra den efterfølgende ultragrænse.
Lighed $f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})$

gælder for en vilkårlig kontinuerlig funktion defineret i punktet .

f

{\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))

I særdeleshed: $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega}x_{n}+\lim _{n\to \omega } y_{n}$ $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n \to \omega }y_{n})$

Se også

Ultrafilter