Logaritmisk oscillationsdekrement

Den logaritmiske formindskelse af svingninger ( dæmpning dekrement ; fra latin decrementum - "fald, fald") er en dimensionsløs fysisk størrelse , der beskriver faldet i amplituden af svingningsprocessen og er lig med den naturlige logaritme af forholdet mellem to på hinanden følgende amplituder på den oscillerende værdi x i samme retning:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Den logaritmiske reduktion af svingninger er lig med dæmpningsfaktoren β , ganget med svingningsperioden T :

\lambda =\beta T.

Denne parameter bruges som regel til lineære oscillatoriske systemer, da oscillationsperioden i ikke-lineære systemer generelt afhænger af amplituden, og loven om amplitudefald adskiller sig fra den eksponentielle. I lineære systemer ændres den fluktuerende mængde med tiden som

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

hvor A = x (0) er startamplituden, t er tiden, ω = 2π/ T er den cykliske oscillationsfrekvens.

Ved at angive X n = x ( nT ) får vi herfra , at forholdet mellem X k og X k +1 er lig med

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

Den logaritmiske reduktion er lig med eksponenten for denne eksponent:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Hvis oscillatorsystemets energi er proportional med x , så er dets kvalitetsfaktor (relativt energitab under fasestigningen med 1 radian) lig med

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

og det logaritmiske fald udtrykkes i form af kvalitetsfaktoren som

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

For systemer med en høj kvalitetsfaktor (dvs. med svag dæmpning) kan vi derfor ved at udvide i en Maclaurin-serie i λ begrænse os til de to første led og erstatte i disse formler , som fører til $\lambda \ll 1,$ $e^{-\lambda }$ $e^{-\lambda }$ $1-\lambda ,$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \approx {\frac {2\pi }{Q)).

Logaritmisk oscillationsdekrement

Links