Liouville nummer

Et Liouville-tal er et irrationelt tal , der kan tilnærmes ved rationelle tal, således at der for ethvert heltal er uendeligt mange par heltal ( ), således at: $x$ $n$ $(p,q)$ $q>1$

{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n))))

Et diofantisk tal [1] er et irrationelt tal, der ikke kan repræsenteres på denne måde, det vil sige, når det tilnærmes med et rationelt tal, er fejlen mindst en vis potens af nævneren:

{\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q} }\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha ))))

Ved Liouvilles algebraiske taltilnærmelsessætning er hvert algebraisk irrationelt tal diofantinsk. Især derfor er ethvert Liouville-tal transcendentalt , hvilket gør det muligt eksplicit at konstruere transcendentale tal som summer af superhurtige konvergerende rækker af rationelle tal.

Diofantiske tal er metrisk typiske: deres sæt har fuld Lebesgue-mål . Liouville-tal er tværtimod typiske fra et topologisk synspunkt: deres sæt er residual .

Mål for irrationalitet af Liouville-tal: desuden, hvis målet for irrationalitet af et tal er uendeligt, så er det Liouville (nogle gange tages denne egenskab som definitionen af Liouville-tal). $\mu (x)=+\infty$

Det klassiske eksempel på et Liouville-tal er Liouville-konstanten , defineret som:

\sum _{{k=1}}^{\infty }10^{{-k!}}=0{,}11000100000000000000000010000\ldots

Noter

↑ Milnor J. Holomorfisk dynamik. Indledende forelæsninger = Dynamik i én kompleks variabel. Indledende foredrag. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000.