Lemma Gordan

Gordans lemma er et lemma fra området konveks geometri og algebraisk geometri . Hun har flere tilsvarende formuleringer:

For en konveks rationel polyhedral kegle genereres halvgruppen ( monoid ) af punkter med heltalskoordinater, der ligger indeni den, endeligt [1] .
Lad være en heltalsmatrix. Lad være sæt af ikke-negative heltal løsninger af systemet . Så er der en endelig delmængde , således at hvert element er repræsenteret som en lineær kombination af vektorer fra med ikke-negative heltalskoefficienter [2] . $EN$ $M$ $A\cdot x=0$ $N\subset M$ $M$ $N$
En affin torisk sort er en algebraisk sort (se nedenfor ).

Lemmaet er opkaldt efter matematikeren P. A. Gordan (1837-1912).

Beviser

Geometrisk bevis

Lad en konveks rationel polyhedral kegle blive givet , genereret af vektorer som en kegle . Lade være halvgruppen af heltalspunkter i den givne kegle, dvs. ${\displaystyle \sigma ^{\vee ))$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r))$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$

S_{\sigma }=\sigma ^{\vee}\cap \mathbb {Z} ^{d},

hvor er dimensionen af det rum, hvori keglen ligger . Så kan et vilkårligt punkt repræsenteres som $d$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$ ${\displaystyle x\in S_{\sigma ))$

x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},

hvor ikke-negative koefficienter ved dekomponeres i summen af et ikke-negativt heltal og en brøkdel af . Men da den første sum er heltal, skal den anden sum også være en vektor af et heltalsgitter. I dette tilfælde er den anden sum i et begrænset område, kun afhængig af vektorerne , men ikke af vektoren , så der er kun et begrænset antal muligheder for det. Således genereres endeligt [3] . $u_{i}$ $n_{i}$ $0\leqslant r_{i}<1$ $x$ $u_{i}$ $x$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$

Algebraisk bevis

Beviset for [4] er baseret på det faktum, at en semigruppe er endeligt genereret, hvis og kun hvis dens semigruppealgebra er en endeligt genereret algebra over . $S$ $\mathbb {C} [S]$ $\mathbb {C}$

Lad os først bevise et hjælpelemma på graderede algebraer.

Lemma : Lad være en noethersk klassificeret ring . Så er en endeligt genereret algebra forbi . $EN$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle A^{+}=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n))$ $A_0$

Bevis på lemmaet: lad være et ideal i genereret af alle homogene elementer af positiv grad. I kraft af at være Noetherian genereres et ideal af et begrænset antal homogene elementer af positiv grad . Lad maksimum af elementernes magter være . Hvis er et homogent element af positiv grad, som er større end graderne af alle , så er det repræsenteret som . Det er muligt kun at overveje den homogene komponent af graden fra hver , at opnå ligheden , hvor er homogene elementer af en positiv grad, og denne grad vil være strengt mindre end . Ved at anvende induktion på graden er det således let at se, hvad der genereres som en -algebra . Det er tilbage at vise, at det er endeligt genereret som en -algebra, for hvilket det er tilstrækkeligt at vise, at hver er et endeligt genereret -modul . Faktisk, lad der være en stigende kæde af indlejrede endeligt genererede undermoduler i , hvis forening er lig med alle . Man kan overveje en kæde af idealer . Da det er Noetherian , stabiliseres det på et eller andet trin, hvilket betyder, at det også stabiliserer sig [4] . ${\displaystyle I=\bigoplus \limits _{i=1}^{\infty }A_{i))$ $EN$ $EN$ $jeg$ $f_{i}$ $f_{i}$ $d$ $f$ $f_{i}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$ $g_i$ ${\displaystyle \operatorname {deg} f-\operatorname {deg} f_{i))$ ${\textstyle f=\sum _{i}{\overline {g}}_{i}f_{i}}$ ${\overline {g}}_{i}$ $\operatørnavn {grad} f$ $f$ $A^+$ ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d))$ $A_0$ ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d))$ $A_0$ $A_{i}$ $A_0$ $N_{j}$ $A_{i}$ $A_{i}$ $N_{j}A$ $EN$ ${\displaystyle N_{j}=N_{j}A\cap A_{i))$

Lad os nu bevise, at følgende udsagn gælder for enhver submonoid: ${\displaystyle S\subset \mathbb {Z} ^{d))$

Hvis den er endeligt genereret (som en monoid), så for en vilkårlig heltalsvektor, der ligger i det dobbelte gitter til det gitter, hvori monoiden ligger, genereres submonoiden også endeligt.

S

v

{\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\midt \langle x,v\rangle \geqslant 0\))

Overvej faktisk en algebra , lad dens grundlag være . På den kan du indtaste -gradering: $A=\mathbb {C} [S]$ $\chi ^{a},\,a\in S$ $\mathbb {Z}$

{\displaystyle A_{n}=\operatørnavn {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\))

Ved antagelse er det endeligt genereret, og dermed Noetherian. Så følger det af det beviste lemma, der er en endeligt genereret algebra over . Halvgruppen ligger i et underrum af lavere dimension, så vi kan ved induktion på dimension antage, at den også er endeligt genereret, og derfor er algebraen endeligt genereret. Således genereres endeligt [4] . $EN$ ${\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n))$ $A_0$ ${\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\midt \langle x,v\rangle =0\))$ $A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]$ ${\displaystyle S^{+))$

Endelig følger Gordans lemma af den beviste påstand. Faktisk kan man betragte som hele heltalsgitteret og anvende lemmaet på hvert hyperplan, der definerer en flade med den maksimale dimension af en polyedrisk kegle, indtil der forbliver en monoid af heltalspunkter inde i keglen [4] . $S$

Ansøgninger

Affine toriske varianter

I standarddefinitionen af en affin torisk sort , givet et gitter og en konveks rationel polyhedral kegle i det rum, der svarer til gitteret, er en semigruppe konstrueret , en algebra er konstrueret ud fra den, og dens spektrum betragtes . Rigtigheden af denne definition følger af Gordans lemma: den resulterende algebra er endeligt genereret, det vil sige, den definerer virkelig en affin varietet som dens spektrum [5] . $M$ ${\displaystyle \sigma ^{\vee ))$ $\sigma ^{\vee}\cap M$ $\mathbb {C} [\sigma ^{\vee }\cap M]$

Den maksimale grad af et uopløseligt multihypergraf

En multihypergraf med mange hjørner er et multisæt af delmængder . En multihypergraf kaldes regulær , hvis alle toppunkter har samme grad . En multihypergraf kaldes dekomponerbar , hvis den kan vælge sin egen ikke-tomme submultiset af kanter , så multihypergrafen også er regelmæssig i en vis grad . For naturlig betegner vi med den maksimale grad af en uopløselig multihypergraf på hjørner. Det følger af Gordans lemma, at naturligvis [2] . $V$ $V$ $(V,E)$ $F\subset E$ $(V,F)$ $k<n$ $n$ $D(n)$ $n$ $D(n)$

Bevis : for hver delmængde af hjørner definerer vi en variabel (ved at tage ikke-negative heltalsværdier). Lad os tilføje en variabel mere (også accepterer ikke-negative heltalsværdier). Overvej et sæt ligninger (en ligning for hvert toppunkt): $S$ ${\displaystyle x_{S))$ $d$ $n$

\forall v\in V\colon \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0

Hver løsning specificerer en regulær vertexset multihypergraf : specificerer multipliciteten af de tilsvarende hyperkanter og specificerer graden af toppunkterne. Ifølge Gordans lemma genereres mængden af løsninger af et endeligt sæt af løsninger, det vil sige, at der er et begrænset sæt af multihypergrafer, således at hver regulær multihypergraf er en lineær kombination af nogle elementer . Alle uopløselige multihypergrafer skal ligge i , det vil sige, at deres sæt er endeligt [2] . $(\mathbf {x} ,d)$ $V$ $\mathbf {x}$ $d$ $M$ $M$ $M$

Noter

↑ David A. Cox, Foredrag om toriske varianter Arkiveret 6. maj 2021 på Wayback Machine . Foredrag 1. Proposition 1.11.
↑ 1 2 3 Alon, N.; Berman, K. A. (1986-09-01). "Regulære hypergrafer, Gordons lemma, Steinitz' lemma og invariant teori" . Journal of Combinatorial Theory, serie A. 43 (1): 91-97. DOI : 10.1016/0097-3165(86)90026-9 . ISSN 0097-3165 . Arkiveret fra originalen 2021-08-31 . Hentet 2021-08-16 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ CLS, 2011 , forslag 1.2.17.
↑ 1 2 3 4 BG, 2009 , Lemma 4.12
↑ CLS, 2011 , s. 52-53.

Litteratur

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toriske varianter (engelsk) . - American Mathematical Soc., 2011. - S. 841. - (Kandidatstudier i matematik). — ISBN 9780821848197 .
Winfried Bruns, Joseph Gubeladze. Polytoper, ringe og K-teori . - Springer, 2009. - (Springer Monographs in Mathematics). - doi : 10.1007/b105283 .