Hadamards Lemma

Hadamards lemma ( engelsk Hadamard's lemma , fransk Lemme de Hadamard ) er et udsagn, der beskriver strukturen af en glat reel funktion. Opkaldt efter den franske matematiker Jacques Hadamard [1] .

Lade være en funktion af klassen , hvor , defineret i en konveks naboskab af punktet . Så er der funktioner i klassen , defineret i , sådan at ligheden gælder for alle [1] $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{ i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0 ).

Hvis funktionen er analytisk, så er funktionerne i ovenstående formel analytiske. $f$ ${\displaystyle g_{1},\;\ldots ,\;g_{n))$

Generaliseret formulering

Hadamards lemma kan formuleres i en mere generel form, når nogle af variablerne spiller rollen som parametre:

Lade være en funktion af klassen , hvor , defineret i en konveks naboskab af punktet , og . Så er der funktioner i klassen defineret således, at ligheden gælder for alle $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R } ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $(x,\,y)\in U$

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\, y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0,\,y).

Bevis .

Overvej hjælpefunktionen , hvor er en ekstra reel variabel (parameter). Lad løbe gennem værdierne fra segmentet , så kører funktionen , betragtet som en funktion for hver fast værdi af parameteren , i rummet af funktioner af variabler en kurve med ender og . $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $t$ $t$ $[0,\,1]$ $f(tx,\,y)$ $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ $t$ $n+m$ $f(0,\,y)$ $f(x,\,y)$

I betragtning af som en funktion af variablen afhængigt af parametrene og , og ved at anvende Newton-Leibniz formlen , kan vi skrive: $f(tx,\,y)$ $t$ ${\displaystyle x\in R^{n))$ ${\displaystyle y\in R^{m))$

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt))\, dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx, \,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

hvor

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx,\,y) \,dt.

Den krævede glathed af funktioner følger af den velkendte sætning om differentiering af et integral afhængigt af en parameter, hvilket bevises i løbet af matematisk analyse. $g_{i}(x,\,y)$

Ansøgninger

Hadamards lemma giver os mulighed for at opnå en række nyttige konsekvenser, der finder anvendelse i forskellige grene af matematikken, primært i teorien om singulariteter .

Morses Lemma kan nemt bevises ved hjælp af Hadamards lemma .
En anden nyttig konsekvens af Hadamards lemma (i dens generaliserede form) er, at hvis en kim til en glat funktion forsvinder på hyperplanet , så kan den repræsenteres som hvor er en glat funktion. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $x=0$ $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ $g$
Dette indebærer, at kimen til enhver glat funktion har repræsentationen , hvor og er glatte funktioner. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_ {m}),$ $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $g$
Ved at bruge induktion er det også nemt at få en mere generel idé herfra:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{ m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x, \,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

hvor og er glatte funktioner og er et vilkårligt naturligt tal. $f_{i}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $g$ $n$

Se også

Noter

↑ 1 2 Zorich V.A. Matematisk analyse.

Litteratur

Zorich V.A. Matematisk analyse.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion til singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .