En Desargues- konfiguration er en konfiguration af ti punkter og ti linjer, hvor hver linje indeholder tre punkter af konfigurationen, og tre linjer passerer gennem ethvert punkt. Konfigurationen er opkaldt efter Gerard Desargues og er tæt forbundet med Desargues' sætning , som beviser eksistensen af sådanne konfigurationer.
To trekanter ABC og abc siges at være i centralt perspektiv, hvis linjerne Aa , Bb og Cc skærer hinanden i et punkt (det såkaldte perspektivcentrum). De er i aksialt perspektiv, hvis skæringspunkterne for de linjer, der går gennem de tilsvarende sider af trekanterne X = AB • ab , Y = AC • ac og Z = BC • bc , ligger på den samme rette linje, på perspektivaksen. Desargues' sætning siger, at disse to forhold er ækvivalente - hvis to trekanter er i centralt perspektiv, så skal de være i aksialt perspektiv, og omvendt. I dette tilfælde de ti punkter og ti linjer i disse to perspektiver (trekanternes seks toppunkter, de tre skæringspunkter på perspektivaksen og perspektivcentret, de seks sider af trekanterne, de tre linjer gennem perspektivcentret og perspektivaksen) danner tilsammen Desargues-konfigurationen.
Selvom konfigurationen kan indlejres i et plan, har den en meget enkel konstruktion i tredimensionelt rum - alle fem planer, der er i generel position i det euklidiske rum, har ti skæringspunkter af tre planer og ti skæringslinjer for to planer og danne en Desargues-konfiguration [1] . Denne konstruktion er tæt forbundet med den egenskab, at ethvert projektivt plan , der kan indlejres i et projektivt rum, adlyder Desargues' teorem. En sådan tredimensionel repræsentation af Desargues-konfigurationen kaldes også et komplet pentahedron [1] .
En femcellet eller pentahedron (en regulær simplex i firedimensionelt rum) har fem hjørner, ti kanter, ti trekantede todimensionelle flader og fem tetraedriske flader. Kanter og 2D-flader skærer hinanden på nøjagtig samme måde som punkter med linjer i Desargues-konfigurationen. Lad os fortsætte kanterne af femcellen med lige linjer og hver trekant til planet. Overvej skæringspunktet mellem disse linjer og planer med et tredimensionelt hyperplan, der ikke indeholder disse linjer og planer og heller ikke er parallelt med dem. Hver linje skærer hyperplanet i et punkt, og hver plan skærer hyperplanet i en lige linje. Disse ti punkter og linjer danner Desargues-konfigurationen [1] .
Selvom punkter og linjer spiller forskellige roller i Desargues' sætning, er Desargues' konfiguration mere symmetrisk - et hvilket som helst af de ti punkter kan vælges som centrum for perspektivet, og dette valg bestemmer, hvilke seks punkter der er trekanternes hjørner, og hvilken linje der er perspektivaksen. Desargues-konfigurationen har en symmetrigruppe af orden 120. Der er således 120 forskellige måder at permutere punkter og linjer på i en konfiguration, der bevarer forekomsten af et punkt og en linje. Den tredimensionelle repræsentation af Desargues-konfigurationen gør disse symmetrier mere eksplicitte - hvis konfigurationen opnås fra fem planer i tredimensionelt rum i en fælles konfiguration, så svarer hver af de 120 forskellige permutationer af disse fem planer til symmetrien i Desargues konfiguration [1] .
Desargues-konfigurationen er selv-dual, hvilket betyder, at man kan matche punkterne i den første konfiguration med linjerne i den anden konfiguration og linjerne i den første med punkterne i den anden på en sådan måde, at alle forekomster bevares [2 ] .
Levi -grafen for en Desargues-konfiguration med et toppunkt for hvert punkt og et toppunkt for hver linje i konfigurationen er kendt som Desargues-grafen . I lyset af symmetrierne og selvdualiteten i Desargues-konfigurationen er Desargues-grafen en symmetrisk graf .
Kempe foreslog en anden graf for denne konfiguration, med ti hjørner svarende til linjer og kanter, der forbinder to spidser, hvis skæringspunktet mellem to linjer ikke hører til konfigurationen. Du kan fortolke denne graf på en anden måde - grafens hjørner svarer til punkterne i Desargues-konfigurationen, og kanterne i dette tilfælde svarer til linjer, hvis linjen, der går gennem disse punkter, ikke hører til konfigurationen. Denne publikation er den første kendte kilde i den matematiske litteratur, der viser en Petersen-graf , 12 år før Julius Petersen brugte den samme graf som modeksempel i et kantfarveproblem .
Som en projektiv konfiguration har Desargues-konfigurationen notationen (10 3 10 3 ), hvilket betyder, at hver af dens 10 punkter falder sammen med tre linjer, og hver af dens 10 linjer falder sammen med tre punkter. Dens ti punkter kan på en unik måde betragtes som to gensidigt indskrevne femkanter eller som en dekagon indskrevet i sig selv [3] . Desargues-grafen , en todelt symmetrisk kubisk graf med 20 hjørner , kaldes ved dette navn, fordi den kan repræsenteres som en Levi - graf i Desargues-konfigurationen med et toppunkt for hvert punkt og for hver linje og en kant for hvert punkt- linjehændelse.
Der er otte andre (10 3 10 3 ) konfigurationer (det vil sige sæt af punkter og linjer i det euklidiske plan, hvor ethvert punkt ligger på tre linjer, og enhver linje indeholder tre punkter), som ikke er isomorfe med hensyn til incidensforholdet for Desargues-konfigurationen, og en af disse konfigurationer er vist i figuren til højre. I alle disse konfigurationer, for ethvert valgt punkt, er der altid tre andre, der ikke ligger på samme linje med det, og disse punkter ligger ikke på samme linje. I Desargues-konfigurationen ligger disse tre punkter altid på den samme lige linje. Så hvis vi vælger perspektivets centrum, så ligger disse tre punkter på perspektivaksen. I eksemplet til højre danner sådanne punkter en trekant. Som i tilfældet med Desargues-konfigurationen, kan andre konfigurationer repræsenteres som et par gensidigt indskrevne femkanter.