Atlas (topologi)

Atlas - begrebet differentiel geometri , der giver dig mulighed for at introducere yderligere strukturer på manifolden ; for eksempel en glat struktur eller en kompleks struktur.

Atlasset består af individuelle kort, der beskriver individuelle områder af mangfoldighed. Hvis vi med mangfoldighed mener Jordens overflade, så får ordene "kort" og "atlas" deres sædvanlige betydninger.

Definitioner

Lade være et tal felt (for eksempel , eller ), være et topologisk rum . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $x$

Kortet er et par hvor $(U,f)$

U

er et åbent sæt i

x

f

er en homøomorfi fra til et åbent sæt til

U

K^n

Lokalt kort indgår i krumlinjede koordinater ved at knytte et punkt til et sæt tal $U$ $x=f^{-1}(t)$ $t=(t^{1},...,t^{n})$

Hvis domænerne af to kort og skærer hinanden ( ), så er der mellem mængderne og der er gensidigt omvendte afbildninger (homeomorfismer), kaldet sammenligningsfunktioner eller limningskortlægning : $(U_{1},f_{1})$ $(U_{2},f_{2})$ $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ $f_{1}(U_{2})$ $f_{2}(U_{1})$ ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\til f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

Et atlas er et sæt af koordinerede kort , som danner en rumdækning . Her er et sæt indekser. I dette tilfælde kaldes et atlas glat (af klasse ) eller analytisk, hvis koordinatændringsfunktionerne for alle kort er glatte (af klasse ) eller analytiske. ${\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\))$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alpha }\}$ $x$ ${\mathcal {A}}$ $C^k$ $f_{\alpha _{1}\alpha _{2))$ $C^k$

Relaterede definitioner

To glatte (analytiske) atlas siges at være konsistente, hvis deres forening også er et glat (analytisk) atlas.