Differentielle former i elektromagnetisme

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2015; verifikation kræver 1 redigering .

Differentialformer i elektromagnetisme er en af de mulige matematiske formuleringer af klassisk elektrodynamik ved hjælp af differentialformer i firedimensional rumtid.

Overvej Faraday 2-formen svarende til den elektromagnetiske felttensor :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Denne form er krumningsformen for det trivielle hovedbundt med strukturgruppe U(1) , hvorved klassisk elektrodynamik og gauge-teori kan beskrives . Strømmens 3-form , dobbelt til strømmens 4-vektor, har formen

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ kile {{\mathrm d}}x^{d}.

I denne notation kan Maxwells ligninger skrives meget kompakt som

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}

hvor er Hodge-stjerneoperatøren . Geometrien af den generelle gauge-teori kan beskrives på lignende måde. $*$

2-formen kaldes også Maxwell 2-formen . $*{\mathbf {F}}$

Litteratur

Arnold V. I. Matematiske metoder for klassisk mekanik, M .: Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5
Cartan A. Differentialregning. differentielle former. M.: Mir, 1971
Bolibrukh A. A. Maxwells ligninger og differentialformer , MTsNMO, 2002.

Se også

Dyadisk tensor _ _ _
To-element tensor ( eng. Dyadisk tensor )
To-element tensor multiplikation ( eng. Dyadic product )
Kvaternion
Ekstern algebra