Cyklusgrafen for en gruppe illustrerer de forskellige cyklusser i en gruppe og bruges især til at visualisere strukturen af små finite grupper .
En cyklus er mængden af potenser af et element a i gruppen, hvor a n , den n'te potens af elementet a , er defineret som produktet af a og sig selv n gange. Et element siges at generere en cyklus. I en endelig gruppe skal en eller anden potens af elementet a , der ikke er nul , være lig med det neutrale (identitets)element e . Den mindste sådan grad kaldes rækkefølgen af cyklussen, og den er lig med antallet af forskellige elementer i cyklussen. I grafen over cyklusser er cyklussen repræsenteret af en polygon, hvor hjørnerne afspejler gruppens elementer, og kanterne, der forbinder hjørnerne, indikerer, at polygonens spidser er medlemmer af den samme cyklus.
Cykler kan overlappe eller har ingen fælles elementer, undtagen et enkelt. Cyklusgrafen viser hver cyklus som en polygon.
Hvis a genererer en cyklus af orden 6 (eller kortere har orden 6), så er a 6 = e . I dette tilfælde danner graderne af kvadratet af elementet a 2 , { a 2 , a 4 , e } en cyklus, men i virkeligheden giver dette faktum ingen yderligere information. På samme måde genererer en 5 den samme cyklus som en selv .
Det er således kun simple cyklusser, der skal tages i betragtning, nemlig dem, der ikke er delmængder af andre cyklusser. Hver af disse cyklusser er genereret af et simpelt element a . Tag et toppunkt for hvert element i den oprindelige gruppe. For hvert primelement, kant e til a , a til a 2 , ..., a n −1 til a n osv., indtil vi får e igen . Resultatet bliver en cyklusgraf.
Hvis a 2 = e , har a orden 2 (er en involution ) og er forbundet med identitetselementet e med to kanter. Bortset fra når du vil fremhæve to kanter af en cyklus, tegnes normalt kun én kant [1] .
Dih 4 kalejdoskop med rødt spejl og 4x rotationsgeneratorer |
Cyklusgraf for den dihedrale gruppe Dih 4 . |
Som et eksempel på en gruppecyklusgraf kan du overveje den dihedrale gruppe Dih 4 . Multiplikationstabellen for denne gruppe er vist nedenfor, og cyklusgrafen er vist i figuren til højre ( e viser identitetselementet).
| o | e | b | -en | en 2 | en 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | -en | en 2 | en 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
| b | b | e | a 3 b | a 2 b | ab | en 3 | en 2 | -en |
| -en | -en | ab | en 2 | en 3 | e | a 2 b | a 3 b | b |
| en 2 | en 2 | a 2 b | en 3 | e | -en | a 3 b | b | ab |
| en 3 | en 3 | a 3 b | e | -en | en 2 | b | ab | a 2 b |
| ab | ab | -en | b | a 3 b | a 2 b | e | en 3 | en 2 |
| a 2 b | a 2 b | en 2 | ab | b | a 3 b | -en | e | en 3 |
| a 3 b | a 3 b | en 3 | a 2 b | ab | b | en 2 | -en | e |
Lad os være opmærksomme på cyklussen e , a , a 2 , a 3 . Det kan ses i tabellen som successive potenser af en . Den omvendte pas er også velegnet. Med andre ord, ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a og ( a 3 ) 4 = e . Denne adfærd forbliver sand i enhver cyklus af enhver gruppe - cyklussen kan gennemløbes i enhver retning.
Sløjfer, der indeholder ikke-primære elementværdier, indeholder implicit løkker, der ikke er vist i grafen. For gruppen Dih 4 ovenfor kan vi tegne en kant mellem a 2 og e , fordi ( a 2 ) 2 = e , men en 2 er en del af en større cyklus, så kanten tegnes ikke.
En tvetydighed kan eksistere, hvis to cyklusser indeholder et element, der ikke er et enkelt element. Overvej for eksempel quaternion-gruppen , hvis cyklusgraf er vist til højre. Hvert element i den midterste række, ganget med sig selv, giver -1. I dette tilfælde kan vi bruge forskellige farver til at afspejle cyklusserne, selvom en simpel symmetrikonvention vil fungere lige så godt.
Som tidligere nævnt er de to kanter af en to-element cyklus normalt repræsenteret af en enkelt kant.
Det omvendte element kan findes i cyklusgrafen som følger: Det er et element, der har samme afstand fra enhed, men i den modsatte retning.
Cyklusgrafer blev betragtet af talteoretikeren Daniel Shanks i begyndelsen af 1950'erne som et middel til at studere de multiplikative grupper af restringe [2] . Shanks udgav først ideen i den første udgave (1962) af sin bog Solved and Unsolved Problems in Number Theory [ 3] . I bogen undersøger Shanks, hvilke grupper der har isomorfe cyklusgrafer, og hvornår cyklusgrafen er plan [4] . I den anden udgave (1978) diskuterer Shanks sin forskning om ideelle klassegrupper og udviklingen af algoritmen for store og små trin [5] :
Cyklusgrafer har vist sig nyttige, når jeg har at gøre med abelske grupper, og jeg har brugt dem ofte til at forstå deres komplekse struktur [77, s. 852], for at opnå flere forbindelser [78, s. 426] eller til at skelne visse undergrupper [79].
Cyklusgrafer bruges som et undervisningsværktøj i Nathan Carters (2009) indledende lærebog Visual Group Theory [ 6] .
Nogle slags grupper har typiske grafer:
Cykliske grupper Z n af orden n har en enkelt cyklus, der kan tegnes som en polygon med n sider:
| Z1 _ | Z 2 = Dih 1 | Z3 _ | Z4 _ | Z5 _ | Z 6 \u003d Z 3 × Z 2 | Z7 _ | Z8 _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z9 _ | Z 10 \u003d Z 5 × Z 2 | Z11 _ | Z 12 \u003d Z 4 × Z 3 | Z13 _ | Z 14 \u003d Z 7 × Z 2 | Z 15 \u003d Z 5 × Z 3 | Z16 _ |
| Z17 _ | Z 18 \u003d Z 9 × Z 2 | Z19 _ | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 21 \u003d Z 7 × Z 3 | Z 22 \u003d Z 11 × Z 2 | Z23 _ | Z 24 \u003d Z 8 × Z 3 |
| Z2 _ | Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 |
|---|
Hvis n er et primtal , har grupper af formen (Z n ) m ( n m − 1)/( n − 1) cyklusser af længden n med et fælles identitetselement:
| Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 | Z 3 2 |
|---|
Dihedrale grupper Dih n har orden 2 n og består af en cyklus med længden n og n 2-element cyklusser:
| Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 2 | Dih 3 | Dih 4 | Dih 5 | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | Dih 7 | Dih 8 | Dih 9 | Dih 10 \u003d Dih 5 × Z 2 |
|---|
Dicykliske grupper , Dic n = Q 4n har orden 4 n :
| Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | Dic 6 = Q 24 |
|---|
Andre direkte værker :
| Z4 × Z2 _ | Z 4 × Z 2 2 | Z6 × Z2 _ | Z8 × Z2 _ | Z 4 2 |
|---|
Den symmetriske gruppe S n for enhver gruppe af orden n indeholder en undergruppe isomorf til denne gruppe, således at cyklusgrafen for enhver gruppe af orden n kan findes som en undergraf af cyklusgrafen S n .
Se eksempel: Undergrupper af gruppe S 4 .
| S 4 × Z 2 | A 4 × Z 2 | Dih 4 × Z 2 | S 3 × Z 2 |
Den fulde oktaedriske gruppe er det direkte produkt af den symmetriske gruppe S 4 og den cykliske gruppe Z 2 .
Gruppen har orden 48 og indeholder undergrupper af enhver rækkefølge, der deler 48.
I eksemplerne nedenfor er de hjørner, der er forbundet med hinanden, placeret side om side,
så de præsenterede cyklusgrafer er ikke de simpleste grafer for disse grupper (sammenlign med cyklusgraferne for de samme grupper i begyndelsen af afsnittet).
| S 4 × Z 2 (ordre 48) | A 4 × Z 2 (rækkefølge 24) | Dih 4 × Z 2 (ordre 16) | S 3 × Z 2 = Dih 6 (rækkefølge 12) |
|---|---|---|---|
| S 4 (rækkefølge 24) | A 4 (rækkefølge 12) | Dih 4 (rækkefølge 8) | S 3 = Dih 3 (rækkefølge 6) |
Som alle andre grafer kan cyklusgrafer repræsenteres på en række forskellige måder for at understrege forskellige egenskaber. De to cyklusgraffremstillinger af gruppen S 4 er et eksempel på dette.
| Cyklusgrafen for S 4 ovenfor understreger tilstedeværelsen af tre Dih 4 - undergrupper. | ||
| Disse to repræsentationer understreger den symmetri, der kan ses i vendingen af sættene til højre. | ||