I matematik ( generel algebra ) kaldes et polynomium i flere variable over et felt for harmonisk , hvis det polynomiums Laplacian er nul.
Harmoniske polynomier danner et vektorunderrum af vektorrummet for polynomier over et felt. Desuden danner de et graderet underrum af .
Laplacian er summen af de anden partielle afledte med hensyn til alle variable; det er en invariant differentialoperator med hensyn til den ortogonale gruppe af rotationer.
Ifølge standardadskillelse af variabler teorem kan ethvert polynomium i mange variable over et felt dekomponeres i en endelig sum af produkter af et radikalt polynomium og et harmonisk polynomium. Dette svarer til at sige, at polynomialringen er et frit modul over den radikale polynomialring.