Virial

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; checks kræver 27 redigeringer .

Virialet for et sæt punktpartikler i mekanik er defineret som en skalarfunktion: $N$

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

hvor og er rumvektorerne for koordinater og kræfter for den -te partikel. ${\mathbf {r}}_{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Udtrykket "virial" kommer fra de latinske ord "vis" , "viris" - "styrke" eller "energi". Det blev introduceret af Clausius i 1870 .

Den viriale sætning

For et stabilt system bundet af potentielle kræfter er virial sætning [1] sand :

2\langle T\rangle =-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

hvor repræsenterer den gennemsnitlige samlede kinetiske energi og er kraften, der virker på den -te partikel. $\langle T\rangle$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

I det specielle tilfælde, hvor den potentielle interaktionsenergi svarende til kraften er proportional med th potens af afstanden mellem partiklerne , antager virialsætningen en simpel form $V(r)$ $n$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Med andre ord, to gange den gennemsnitlige samlede kinetiske energi er - gange den gennemsnitlige samlede potentielle energi . $T$ $n$ $U$

Betydningen af den viriale sætning er, at den giver mulighed for at beregne den gennemsnitlige samlede kinetiske energi selv for meget komplekse systemer, der er utilgængelige for en nøjagtig løsning, som for eksempel betragtes af statistisk mekanik . For eksempel kan virialsætningen bruges til at udlede ekvipartialsætningen (en sætning om den ensartede fordeling af energi over frihedsgrader) eller til at beregne Chandrasekhar-grænsen for hvid dværgstabilitet .

Tidsafledt og gennemsnit

Nært beslægtet med virialet er en anden skalarfunktion:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

hvor er momentum af den th partikel. ${\mathbf {p}}_{k}$ $k$

Den tidsafledede af en funktion kan skrives som følger: $G$

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

eller i en enklere form

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Her er massen af den th partikel, er den samlede kraft, der virker på partiklen, og er den samlede kinetiske energi af systemet $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ sum _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

Gennemsnittet af denne afledte over tid er defineret som følger: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau }},

hvor får vi den præcise løsning

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Virial sætning

Virialsætningen siger:

Hvis , så $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle _{\tau }.

Der er flere grunde til, at gennemsnittet af den tidsafledte forsvinder, dvs. En ofte nævnt grund appellerer til koblede systemer , det vil sige systemer, der forbliver rumbundne. I dette tilfælde er funktionen normalt begrænset til to grænser, og , og middelværdien har en tendens til nul i grænsen for meget lange tider : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $G^{{{\mathrm {bundet}}}}$ $G_{\min }$ $G_{\max }$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Denne konklusion er kun gyldig for de systemer, hvor funktionen kun afhænger af tid og ikke afhænger væsentligt af koordinaterne. Hvis middelværdien af den afledte tid er , har virialsætningen samme grad af tilnærmelse. $G$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\ca. 0$

Forholdet til potentiel energi

Den samlede kraft, der virker på en partikel er summen af alle de kræfter, der virker på den del af andre partikler i systemet ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

hvor er kraften, der virker på partiklen fra siden af partiklen . Derfor kan udtrykket i den tidsafledede af funktionen, der indeholder kraften, omskrives som: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Da der ikke er nogen selvhandling (det vil sige hvor ), får vi: ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1} }^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _{j}),

[2]

hvor vi antager, at Newtons tredje lov er opfyldt , dvs. (lig i absolut værdi og modsat i retning). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

Det sker ofte, at der kan udledes kræfter fra potentiel energi , som kun er en funktion af afstanden mellem punktpartikler og . Da kraft er en gradient af potentiel energi med det modsatte fortegn, har vi i dette tilfælde $V$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

som er lig i absolut værdi og modsat i retning af vektoren - den kraft, der virker fra siden af partiklen på partiklen , som det kan vises ved simple beregninger. Derfor er kraftleddet i den afledede af funktionen med hensyn til tid lig med ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Anvendelse til afstandsafhængige kræfter

Det viser sig ofte, at den potentielle energi har form af en potensfunktion $V$

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

hvor koefficient og eksponent er konstanter. I dette tilfælde er kraftleddet i den tidsafledede af funktionen givet af følgende ligninger $\alfa$ $n$ $G$

-\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

hvor er systemets samlede potentielle energi: $U$

U=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

I tilfælde, hvor gennemsnittet af den afledte tid , ligningen $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Et almindeligt nævnt eksempel er gravitationel tiltrækning , for hvilken . I så fald er den gennemsnitlige kinetiske energi halvdelen af den gennemsnitlige negative potentielle energi $n=-1$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Dette resultat er bemærkelsesværdigt nyttigt for komplekse gravitationssystemer, såsom solsystemet eller galaksen , og gælder også for et elektrostatisk system , for hvilket det er det samme. $n=-1$

Selvom dette udtryk er afledt for klassisk mekanik, gælder virialsætningen også for kvantemekanik .

Regnskab for elektromagnetiske felter

Den viriale sætning kan generaliseres til tilfældet med elektriske og magnetiske felter. Resultat: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

hvor er inertimomentet , er Poynting-vektoren , er den kinetiske energi af "væsken", er partiklernes tilfældige termiske energi, og er energien af de elektriske og magnetiske felter i det betragtede volumen af systemet, er væsketrykstensoren udtrykt i det lokale bevægelige koordinatsystem, der ledsager væsken: $jeg$ $P$ $T$ $U$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma }n^{\sigma }

og er energimoment-tensoren for det elektromagnetiske felt: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0 }}}\ret).

Plasmoid er en begrænset konfiguration af magnetiske felter og plasma. Ved at bruge virialsætningen er det let at vise, at enhver sådan konfiguration udvider sig, hvis den ikke begrænses af eksterne kræfter. I den endelige konfiguration vil overfladeintegralet forsvinde uden trykvægge eller magnetspoler. Da alle andre led til højre er positive, vil accelerationen af inertimomentet også være positiv. Det er nemt at estimere udvidelsestid . Hvis den samlede masse er begrænset inden for en radius , så er inertimomentet cirka , og venstre side i virialsætningen er . Begreberne til højre summerer sig til en værdi af størrelsesordenen , hvor er den største af plasmatrykket eller det magnetiske tryk. At sætte lighedstegn mellem disse to udtryk og tage højde for, at , , , hvor er ionens masse, er koncentrationen af ioner, er rumfanget af plasmoid, er Boltzmann-konstanten, er temperaturen, for vi finder: $\tau$ $M$ $R$ $MR^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ $pR^{3}$ $s$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $m_{i}$ $n$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

\tau \sim R/c_{s},

hvor er hastigheden af den akustiske ionbølge (eller Alphen-bølgen, hvis det magnetiske tryk er højere end plasmatrykket). Levetiden for et plasmoid forventes således at være lig med den akustiske (Alfen) transittid i størrelsesorden. $c_{s}$

Relativistisk homogent system

I det tilfælde, hvor det fysiske system tager højde for trykfeltet, elektromagnetiske felter og gravitationsfelter samt partikelaccelerationsfeltet, skrives virialsætningen i den relativistiske form som følger: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

desuden overstiger værdien partiklernes kinetiske energi med en faktor svarende til Lorentz-faktoren for partikler i midten af systemet. Under normale forhold kan vi antage, at , og så er det klart, at i virialsætningen er den kinetiske energi relateret til den potentielle energi ikke med en koefficient på 0,5, men derimod med en koefficient tæt på 0,6. Forskellen fra det klassiske tilfælde opstår på grund af hensynet til trykfeltet og partikelaccelerationsfeltet inde i systemet, mens den afledede af skalarfunktionen ikke er lig med nul og bør betragtes som den afledte Lagrange . $~W_{k}\approx \gamma _{c}T$ $~T$ $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}\ca. 1$ $~G$

Analysen af det generaliserede viriales integralsætning gør det muligt på basis af feltteori at finde en formel for rod-middel-kvadrathastigheden af typiske partikler i systemet, uden at bruge begrebet temperatur: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{ c}^{2}\sin ^{2}{\venstre({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\right)))))) },

hvor er lysets hastighed, er accelerationsfeltet konstant, er partikelmassetætheden, er den aktuelle radius. $~c$ $~\eta$ ${\displaystyle ~\rho _{0))$ ${\displaystyle~r}$

I modsætning til virial sætning for partikler, er virial sætning for et elektromagnetisk felt skrevet som følger: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

hvor er energien $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

betragtes som den kinetiske energi af feltet, der er forbundet med 4-strømmen , og mængden ${\displaystyle ~j^{\alpha ))$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

specificerer feltets potentielle energi, fundet gennem komponenterne i den elektromagnetiske tensor.

Se også

Viriel nedbrydning

Noter

↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. Mekanik. - M . : Nauka, 1979. - Oplag 50.000 eksemplarer. - Med. 141.
↑ Bevis for denne lighed
↑ Schmidt G. Fysik af højtemperaturplasmaer. - Anden version. - Academic Press, 1979. - s. 72.
↑ Fedosin, SG Den viriale sætning og den kinetiske energi af partikler i et makroskopisk system i det generelle feltkoncept (engelsk) // Kontinuummekanik og termodynamik : tidsskrift. - 2016. - Bd. 29 , nr. 2 . - s. 361-371 . - doi : 10.1007/s00161-016-0536-8 . - . - arXiv : 1801.06453 .
↑ Fedosin, Sergey G. Integralsætningen om generaliseret virial i den relativistiske ensartede model (engelsk) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. - 2018. - 24. september ( bind 31 , nr. 3 ). - s. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . - doi : 10.1007/s00161-018-0715-x . — . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG Feltenergiens integralsætning. Arkiveret 23. juni 2019 på Wayback Machine Gazi University Journal of Science. Vol. 32, nr. 2, s. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Litteratur

Goldstein H. Klassisk mekanik. — 2. udg. - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk Stor russer