Variation (matematik)

Variation (fra latin variation - forandring, forandring) er et udtryk, der blev introduceret i matematikken af J. L. Lagrange i 1762 i hans værk "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines" [1] for notation for en lille forskydning af en uafhængig variabel eller funktionel.

Begrebet "variation" blev introduceret som en del af metoden til variationer i studiet af ekstreme problemer, baseret på små forskydninger af argumentet og studiet af, hvordan funktionaler ændrer sig afhængigt af dem. Denne metode er en af hovedmetoderne til at løse ekstremumproblemer (deraf navnet på den sektion af matematik, der studerer dette problem - " variationsregning ").

Relaterede definitioner

Overvej noget rum , hvor det funktionelle er givet , og er rummet for nogle parametre. Under variationen af argumentet , forstår vi normalt kurven , hvor ved , og , i rummet passerer igennem i en vis nærhed af begrænsningerne, og værdien svarer til . Således, når sættet af alle parametre løber igennem, løber variationerne gennem en bestemt familie af kurver startende fra punktet . $x$ $f(x)$ $V$ $x_{0}\i X$ $x(t,v)$ $\alpha \leqslant t\leqslant \beta$ $\alpha \leqslant 0$ $\beta \geqslant 0$ $v\in V$ $x$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $v$ $x_{0}$

I finit-dimensional og infinite-dimensional analyse, startende fra det første arbejde af J. Lagrange, anvendes variationer i retningerne , hvornår og , normalt . I dette tilfælde kaldes vektoren en variation . Men dette er ikke det eneste tilfælde af variationer, så i geometrien, i variationsregningen og især i teorien om optimal kontrol, bruges f.eks. stiplede linjer , nålevariationer [2] , variationer forbundet med glidende tilstande [3] . $V=X$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $v$

Valget af variationsrummet og konstruktionen af selve variationerne er det vigtigste element for at opnå de nødvendige ekstreme forhold.

Se også

Noter

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines (fransk) . Torino, 1762.
↑ Bliss G. A. Forelæsninger over variationsregningen. - pr. fra engelsk. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Matematisk teori om optimale processer. - 2. udg. - M., 1969.