Biharmonisk funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. marts 2017; verifikation kræver 1 redigering .

En biharmonisk funktion er en funktion af reelle variable , defineret i domænet D i det euklidiske rum , med kontinuerlige partielle afledte af 4. orden inklusive, og som opfylder ligningen i D : $f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ $\mathbb {R} ^{n},\,n\geq 2$

\nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0

hvor er nabla-operatoren og er Laplace-operatoren . $\nabla$ $\Delta$

Denne ligning kaldes biharmonisk ligning . I det kartesiske koordinatsystem, i tilfælde af tre variable, har ligningen formen:

{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4))}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4))}+{ \frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4))}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2} ))+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2))}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.

I polære koordinater :

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial}{\partial r}}\left({\frac { 1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2))}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2))}+{\frac {1}{r ^{4))}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4))}-{\frac {2}{r^{3))}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r))+{\frac {4}{r^{4))}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.

Klassen af biharmoniske funktioner omfatter klassen af harmoniske funktioner og er en underklasse af klassen af polyharmoniske funktioner. Hver biharmonisk funktion er en analytisk funktion af koordinaterne x i .

Biharmoniske funktioner af to variable er af største betydning fra et synspunkt af praktiske anvendelser . Sådanne biharmoniske funktioner skrives ved hjælp af harmoniske funktioner f 1 , f 2 eller g 1 , g 2 som $f(x_{1},x_{2})$

f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2} )

eller

f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{ 2}(x_{1},x_{2})

hvor a er en konstant. $r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},$ $r_{0}^{2}$

Hovedgrænseværdiproblemet for biharmoniske funktioner er som følger: find en biharmonisk funktion i domænet D , der er kontinuert sammen med førsteordens afledte i et lukket domæne , der opfylder betingelserne på grænsen C ${\bar {D}}=D\kop C$

f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}( s)

hvor er normalafledet til C , f 1 ( s ), f 2 (s) gives kontinuerte funktioner af buelængden s på konturen C . ${\frac {\partial f}{\partial \nu ))$

Ovenstående repræsentationer af biharmoniske funktioner gør det muligt at opnå eksplicitte løsninger på grænseværdiproblemet i tilfældet med cirklen D , baseret på Poisson-integralet for harmoniske funktioner.

Biharmoniske funktioner af to variable kan også skrives

f(x_{1},x_{2})=\operatørnavn {Re} ({\bar {z))\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2 }}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)))+\psi (z)+{\overline {\psi (z)))),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}

ved hjælp af to analytiske funktioner af en kompleks variabel . Denne repræsentation gør det muligt at reducere et grænseværdiproblem for et vilkårligt domæne D til et system af grænseværdiproblemer for analytiske funktioner, hvis løsningsmetode blev udviklet i detaljer af R. V. Kolosov og N. I. Muskhelishvili. Denne teknik er blevet udviklet til at løse forskellige planproblemer i elasticitetsteorien , hvor de vigtigste biharmoniske funktioner er stressfunktionen og luftfunktionen . $\phi (z),\psi (z)$ ${\displaystyle z=x_{1}+ix_{2))$

Se også

harmonisk funktion

Litteratur

Matematisk encyklopædi . I fem bind. Bind 1./ Udg. I. M. Vinogradova. M.: Soviet Encyclopedia , 1985
Tikhonov A.N., Samarskii A.A., Equations of Mathematical Physics , 3. udgave, M., 1966, kap. fire;
Muskhelishvili N.I., Nogle grundlæggende problemer i den matematiske elasticitetsteori, 5. udgave, M., 1966, kap. 2;
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel , 3. udgave, M., 1965.

Biharmonisk funktion

Se også

Links

Litteratur