Separabilitetsaksiomer

Separabilitetsaksiomer er sæt af yderligere krav, der stilles til topologiske rum , hvilket tillader studiet af begrænsede klasser af topologiske rum med egenskaber mere eller mindre tæt på metriske rum . Anvendelsen af en sådan matematisk bevisteknik som princippet om adskillelighed er baseret på antagelsen om opfyldelsen af adskillelighedens aksiomer .

Et sæt adskillelighedsaksiomer introduceres, de mest anvendte er seks, henholdsvis betegnet med T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 (fra tysk Trennungsaxiom ); derudover bruges andre aksiomer og deres variationer nogle gange (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 og andre).

T 0 ( Kolmogorovs aksiom ): for alle to adskilte punkter og mindst ét punkt skal have et naboskab , der ikke indeholder det andet punkt. $x$ $y$

T 1 ( Tikhonovs aksiom ): for alle to forskellige punkter skal der eksistere et naboskab af punktet , der ikke indeholder punktet, og et naboskab af punktet , der ikke indeholder punktet . Tilsvarende tilstand: alle etpunktssæt er lukkede. $x$ $y$ $x$ $y$ $y$ $x$

T 2 ( Hausdorffs aksiom , Hausdorff rum ): for alle to adskilte punkter og der skal være kvarterer og . $x$ $y$ $U(x)$ $V(y)$

T 3 : For ethvert lukket sæt og et punkt, der ikke er indeholdt i det, eksisterer deres ikke-skærende kvarterer [1] [2] . Tilsvarende betingelse: for ethvert punkt og dets kvarter er der et kvarter sådan, at . Nogle gange inkluderer definitionen af adskillelighedsaksiomet T3 kravene til adskillelighedsaksiomet T1 . [3] [4] Også nogle gange er kravet om aksiom T 1 [2] [4] ikke inkluderet i definitionen af et regulært rum . Et regulært rum er et rum, der opfylder aksiomerne T 1 og T 3 . $x$ $U$ $V$ $x\in V\subset\bar{V}\subset U$

T 3½ : for ethvert lukket sæt og et punkt, der ikke er indeholdt i det, eksisterer der en kontinuerlig (i den givne topologi) numerisk funktion , givet på dette rum, der tager værdier fra til på hele rummet, og for alle , der tilhører . Rum, der opfylder aksiomerne T 1 og T 31 , kaldes helt regulære rum eller Tikhonov-rum; desuden er opfyldelsen af T 1 nogle gange inkluderet i definitionen af T 31 [5] , men i definitionen af et fuldstændig regulært rum inkluderer det ikke kravet om aksiomet T 1 (så er det inkluderet i definitionen af en Tikhonov space [2] . $F$ $-en$ $f(x)$ $0$ $en$ $f(a)=0$ $f(x)=1$ $x$ $F$

T 4 : for alle to lukkede usammenhængende sæt eksisterer deres usammenhængende kvarterer [1] [2] . En tilsvarende betingelse: for ethvert lukket sæt og dets kvarter eksisterer der et kvarter , sådan at ( er en lukning af ). Normal plads — mellemrum, der opfylder T 1 og T 4 [2] [6] . Nogle gange omfatter definitionen af T 4 kravet om, at T 1 [7] [8] skal være opfyldt , men definitionen af et normalt rum inkluderer ikke kravet T 1 [8] . $F$ $U$ $V$ $F\undersæt V\undersæt\bar{V}\undersæt U$ ${\bar {V}}$ $V$

Nogle forhold mellem aksiomer for adskillelighed og relaterede klasser med hinanden:

$T_{0}$ , og følger ikke af resten af aksiomerne (hvis deres definition ikke omfatter aksiomet ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
fra følger ; $T_{1}$ $T_{0}$
regulære rum er Hausdorff;
helt regelmæssige mellemrum er regelmæssige;
normale mellemrum er også helt regelmæssige;
kompakte Hausdorff-rum er normale.

Noter

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s.105
↑ 1 2 3 4 5 matematisk encyklopædi
↑ Engelking, s.71
↑ 1 2 Kelly, s.154
↑ Engelking, s.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s.106
↑ Engelking, s.74
↑ 1 2 Kelly, s.153

Litteratur

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov og N. Yu. Netsvetaev Problem lærebog om topologi
Engelking R. Generel topologi: Pr. fra engelsk. — M .: Mir, 1986. — 752 s.
Kelly, J.L. Generel topologi. — M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Separabilitetsaksiom // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk) - artikel fra den matematiske encyklopædi, forfatter - V. I. Zaitsev