Levi-Civita symbol

Levi-Civita-symbolet er et matematisk symbol, der bruges i tensoranalyse . Opkaldt efter den italienske matematiker Tullio Levi-Civita . Udpeget . Her er et symbol for et tredimensionelt rum, for andre dimensioner ændres antallet af indekser (se nedenfor). $\varepsilon_{ijk}$

Andre navne:

absolut antisymmetrisk enhedstensor ,
den totalt antisymmetriske enhedstensor ,
absolut skævsymmetrisk objekt ,
Levi-Civita-tensoren (Levi-Civita-symbolet er en komponentnotation af denne tensor),
skævsymmetrisk Kronecker-symbol (dette udtryk blev brugt i lærebogen om tensorregning af Akivis og Goldberg).

Definition

I et tredimensionelt rum, i en ret ortonormal basis (eller generelt i en ret basis med en enhedsdeterminant af metrikken), er Levi-Civita-symbolet defineret som følger:

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

det vil sige, for en lige permutation af indeks i , j , k er den lig med 1 (for tripler (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), for en ulige permutation er lig med −1 (for tripletter (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), og i andre tilfælde er den lig med nul (i nærvær af gentagne indekser). For komponenterne i venstre basis tages modsatte tal. $\varepsilon_{ijk}$

For det generelle tilfælde (vilkårlige skrå koordinater med højrehåndede basisvektorer) ændres denne definition normalt til

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g)),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

hvor er determinanten for matrixen af den metriske tensor , som er kvadratet af volumenet af parallelepipedummet spændt over af basis. For komponenterne i venstre basis tages modsatte tal. $g$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

Et sådant sæt af komponenter er en (ægte) tensor . Hvis, som det nogle gange gøres i litteraturen, ovenstående formler bruges som en definition for et hvilket som helst - både højre og venstre - koordinatsystem, så vil det resulterende sæt af tal repræsentere en pseudotensor . I dette tilfælde vil det være det samme, men med en erstatning for $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk))$ ${\sqrt {g))$ $1/{\sqrt {g}).$

$\varepsilon_{ijk}$ kan også defineres som det blandede produkt af basisvektorerne, hvori symbolet anvendes:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Denne definition er for enhver højre eller venstre basis, da fortegnsforskellen for venstre og højre baser er i det blandede produkt. Den absolutte værdi af hver ikke-nul komponent er lig med volumenet af parallelepipedummet spændt af basis . Tensoren er som forventet antisymmetrisk med hensyn til ethvert indekspar. Definitionen svarer til ovenstående. $\{{\vec {e_{i))}\}$

Nogle gange bruger de en alternativ definition af Levi-Civita-symbolet uden en multiplikator i nogen baser (det vil sige sådan, at alle dets komponenter altid er lig med ±1 eller 0, som i definitionen ovenfor for ortonormale baser). I dette tilfælde er det ikke i sig selv en repræsentation af en tensor. Multipliceret med objektet (sammenfaldende med i definitionen ovenfor og er en tensor) er i dette tilfælde betegnet med et andet bogstav og kaldes normalt et volumenelement . Vi følger her Levi-Civitas definition. (Denne bemærkning gælder ikke kun for tredimensionelt rum, men også for enhver dimension.) ${\sqrt {g))$ ${\sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Geometrisk sans

Som det allerede fremgår af definitionen gennem det blandede produkt, er Levi-Civita-symbolet forbundet med et orienteret volumen og et orienteret område, repræsenteret som en vektor.

I tredimensionelt (euklidisk) rum, det blandede produkt af tre vektorer

V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}

er et orienteret volumen ( en pseudoskalær , hvis modul er lig med volumenet, og tegnet afhænger af orienteringen af trippelen af vektorer) af parallelepipedet spændt ud af tre vektorer , og . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Vektorprodukt af to vektorer

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

er det orienterede område af et parallelogram , hvis sider er vektorer og repræsenteret af en pseudovektor, hvis længde er lig med arealet, og hvis retning er ortogonal i forhold til parallelogrammets plan. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Denne betydning bevares for enhver rumdimension n , hvis vi selvfølgelig tager den med det passende antal indekser, ved volumen forstår vi det n -dimensionelle rumfang og ved arealet - ( n − 1)-dimensionelt (hyper- ) areal. I dette tilfælde inkluderer den tilsvarende formel naturligvis n og ( n − 1) vektorer — faktorer. For eksempel for et 4-dimensionelt (euklidisk) rum: $\varepsilon$

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Egenskaber

Determinanten for en 3×3 matrix A kan skrives (her mener vi standarden og dermed det ortonormale grundlag ) som ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Vektorproduktet af to rumvektorer skrives gennem dette symbol: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , hvor er dens komponenter og er basisvektorer. $c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec {e}}^{i}$
Blandet produkt af vektorer også: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
I den følgende formel betegner Kronecker-symbolet : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$
Summering over et fælles indeks giver $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _ {km}.$
I tilfælde af to delte indekser kollapser tensoren sådan her: $i,j$ $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Overalt her, i tilfælde af et ortonormalt grundlag, kan alle indekser blot omskrives som lavere.)

Generalisering til tilfældet med n dimensioner

Levi-Civita-symbolet kan let generaliseres til et hvilket som helst antal dimensioner, der er større end én, ved at bruge definitionen i form af pariteten af indekspermutationer :

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\venstre\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt{g}),$ hvis der er en jævn permutation af sættet $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$-{\sqrt{g}),$ hvis der er en ulige permutation af sættet $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$0$ hvis mindst to indeks er ens.

Det vil sige, at det er lig med tegnet (signum) for permutationen , ganget med roden af metrikkens determinant i det tilfælde, hvor indeksene tager værdier, der implementerer permutationen af sættet , og i andre tilfælde nul . (Som du kan se, er antallet af indeks lig med rummets dimension .) ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\))))$ $(1,2,3,\dots,n)$ $n$

I pseudo-euklidiske rum , hvis signaturen af metrikken er sådan, at , tager man normalt i stedet for det for at gøre det virkeligt. $g<0$ $-g$ ${\sqrt {g))$
I alle dimensioner, hvor Levi-Civita-symbolet er defineret, repræsenterer det en tensor (hvilket primært betyder, at man skal sikre sig, at antallet af symbolindekser matcher rummets dimension). Derudover kan der, som det fremgår af ovenstående, være nogle vanskeligheder med den sædvanlige definition af Levi-Civita-symbolet i rum, hvor den metriske tensor ikke er defineret, eller for eksempel eller . $\det {\{g_{ij}\}}=0$ $\det {\{g^{ij}\}}=0$

Det kan påvises, at målinger har egenskaber svarende til tredimensionelle: $n$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- hvilket skyldes, at der er permutationer af sættet , og derfor er der det samme antal ikke-nul komponenter med indekser.

n!

(1,2,3,\dots,n)

\varepsilon

n

$\varepsilon _{ijk\dots}\varepsilon ^{pqr\dots}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\ \end{vmatrix}}.$

Efter at have udvidet determinanten, vises en multiplikator, og der foretages forenklinger i de tilsvarende Kronecker-symboler.

n!

Pseudo-skalært produkt af to vektorer i todimensionelt rum: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j} .$

Størrelsesmatrixdeterminanten kan bekvemt skrives ved hjælp af det -dimensionelle Levi -Civita-symbol $EN$ $n\ gange n$ $n$ $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

som i virkeligheden kun er definitionen af determinanten (en af de mest almindelige), der er omskrevet ved hjælp af dette symbol. Her antages grundlaget at være standard, og de ikke-nul komponenter her antager værdierne .

{\displaystyle \varepsilon _{ijk\ldots ))

\pm 1

En direkte -dimensionel generalisering af krydsproduktet af stykker ( -dimensionelle) vektorer: $n$ $n-1$ $n$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

hvor er dens komponenter og er basisvektorer. (Her nedskriver vi for kortheds skyld udtrykket for de kovariante komponenter og udvidelsen i den dobbelte basis.)

p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots}a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec {f}}^{i}

En direkte -dimensionel generalisering af det blandede produkt af stykker ( -dimensionelle) vektorer: $n$ $n$ $n$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Ikke-indekseret notation (for n dimensioner)

I ikke-indekseret tensor-notation er Levi-Civita-symbolet erstattet af en dualitetsoperator kaldet Hodge-stjernen eller blot stjerne-operatoren:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{nk}}}}

(for en vilkårlig tensor, givet Einsteins summeringsreglen ). $\eta ,$