Jacobian

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Jacobian ( Jacobi determinant , funktionel determinant ) er en vis generalisering af den afledte funktion af en variabel til tilfældet med afbildninger fra det euklidiske rum ind i sig selv.

Jacobianen udtrykkes som determinanten for Jacobi -matricen, en matrix sammensat af de partielle afledte af kortlægningen.

Jacobian af en kortlægning på et punkt betegnes normalt , nogle gange også som følger: $f$ $x$ $\mathop {\rm {Jac)) _{x}f$

{\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n)))))

,eller

{\frac {\partial (f_{1},\dots,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots,x_{n)))))

Også jakobiske sommetider (på russisk er denne brug af udtrykket ikke helt accepteret) kaldes selve jakobiske matrix og ikke dens determinant. På engelsk og på nogle andre sprog anses udtrykket jakobisk for lige så anvendeligt på Jacobi-matricen og dens determinant [1] .

Indført af Jacobi (1833, 1841).

Definition

Jacobianen for en vektorfunktion , der har alle førsteordens partielle afledte på et tidspunkt defineres som $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n$ $x$

\det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x) &\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{ 2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{ n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

Man kan også tale om den jakobiske determinant eller den jakobiske for et system af funktioner . $u_{1},\ldots ,u_{n}$

Geometrisk fortolkning

Hvis funktionerne definerer koordinattransformationen , så er betydningen af Jacobi-determinanten i forhold til volumen [2] af parallelepipederne "strakt" på og på , når produkterne er lige store . ${\tilde x}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{i}\højrepil {\tilde x}_{j}$ $d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\dots ,d{\tilde x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$ $d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$

Ansøgning

Jacobianeren bruges ofte i analysen af implicitte funktioner.
Jacobi-determinantens ulighed til nul tjener som en bekvem nødvendig og tilstrækkelig betingelse for den lokale ikke-degeneration af en koordinattransformation, det vil sige, det betyder, at denne transformation i et område af det pågældende punkt er en diffeomorfisme .
Integralet over regionen under en ikke-degenereret transformation af koordinater transformeres som ${\tilde x}_{j}\højrepil x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n}) d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=$ $=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),{\tilde x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),\dots,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ ( ændring af variables formel i n - dimensionalt integral ).

Eksempler

Eksempel 1. Overgang af et elementært område fra kartesiske koordinater ( x , y ) til polære koordinater ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

Jacobi-matricen har følgende form

{\hat {I))(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.

Og jakobianeren for overgangen fra kartesiske til polære koordinater er bestemmende for Jacobi-matricen:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Arealelementet i overgangen fra kartesiske til polære koordinater vil således se således ud:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Eksempel 2. Overgang af et elementært volumen fra kartesiske koordinater ( x , y , z ) til sfæriske koordinater ( r , θ , φ ): ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

Jacobi-matricen har følgende form

{\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{ \partial \theta ))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y} {\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z }{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

Og jakobiske for overgangen fra kartesiske til sfæriske koordinater er determinanten for den jakobiske matrix:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Således vil volumenelementet i overgangen fra kartesiske til sfæriske koordinater se sådan ud:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Egenskaber

Den absolutte værdi af Jacobian på et tidspunkt er lig med koefficienten for volumenforvrængning på dette punkt (det vil sige grænsen for forholdet mellem volumen af billedet af punktets kvarter og volumen af kvarteret selv, når dimensionerne af nabolaget har en tendens til nul). $x$ $x$
Jacobianeren i et punkt er positiv, hvis afbildningen ikke ændrer orientering i et kvarter omkring punktet M, og negativ ellers. $x$
Hvis kortlægningens Jacobian ikke forsvinder i domænet , er kortlægningen en lokal diffeomorfi . $\Delta$ $\Delta$

Noter

↑ wolfram.com Jacobian
↑ Her mener vi orienteret volumen . Forholdet mellem primærvolumener er modulet for Jacobi-determinanten.

Se også

Anvendelse i fysik

Bridgeman-relationer (termodynamik) og Maxwell-relationer (termodynamik) er udledt ved hjælp af den jakobianske teknik