Elliptisk filter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. oktober 2019; checks kræver 4 redigeringer .

Elliptisk filter ( Cauer- filter eller Zolotarev - filter eller Zolotarev-Cauer-filter ) er et elektronisk filter , hvis karakteristiske træk er krusningen af amplitude-frekvenskarakteristikken både i pasbåndet og i undertrykkelsesbåndet . Størrelsen af pulseringer i hvert af båndene er uafhængig af hinanden. Et andet kendetegn ved et sådant filter er en meget stejl afrulning af amplitudekarakteristikken, så med dette filter kan du opnå en mere effektiv frekvensseparation end med andre lineære filtre.

Hvis krusningerne i undertrykkelsesbåndet er lig med nul, bliver det elliptiske filter et Chebyshev-filter af den første slags . Hvis krusningen er nul i pasbåndet, bliver filteret et Chebyshev-filter af den anden slags. Hvis der ikke er krusninger i hele amplitudekarakteristikken, bliver filteret et Butterworth-filter .

Frekvensresponsen af et elliptisk lavpasfilter er en funktion af den cirkulære frekvens ω og er givet af:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0)))))) }

hvor R n er en rationel elliptisk funktion af orden n og

\omega_0

- afskæringsfrekvens

\epsilon

— krusningsfaktor _ _

\xi

- selektivitetsfaktor _ _

Værdien af krusningsindekset bestemmer krusningen i pasbåndet, mens krusningen i afvisningsbåndet afhænger af både krusningsindekset og selektivitetsindekset.

Egenskaber

I pasbåndet ændrer den elliptiske funktion værdier fra nul til én. Frekvensresponsen i pasbåndet varierer derfor fra enhed til . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

I undertrykkelsesbåndet ændrer den elliptiske funktion værdier fra uendelig til værdien , som er defineret som: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Frekvensresponsen i undertrykkelsesbåndet ændrer således værdier fra nul til .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}

Det begrænsende tilfælde gør den elliptiske funktion til et Chebyshev polynomium , og dermed bliver det elliptiske filter et Chebyshev-filter af den første slags med krusningseksponent ε. $\xi \højrepil \infty$
Da Butterworth-filteret er et begrænsende tilfælde af Chebyshev-filteret, bliver det elliptiske filter under betingelserne et Butterworth - filter. $\xi \højrepil \infty$ $\omega _{0}\højrepil 0$ $\epsilon \højrepil 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
Det begrænsende tilfælde gør det elliptiske filter til et Chebyshev filter af anden slags med frekvensgang $\xi \højrepil \infty$ $\epsilon \højrepil 0$ $\omega _{0}\højrepil 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )))))) }}.

Poler og nuller

Nullerne i frekvensresponsmodulet falder sammen med polerne for den fraktionel-rationelle elliptiske funktion.

Polerne af et elliptisk filter kan defineres på samme måde som polerne af et Chebyshev-filter af den første slags. For nemheds skyld tager vi afskæringsfrekvensen lig med enhed. Det elliptiske filters poler vil være nullerne af nævneren for amplitudekarakteristikken. Ved at bruge den komplekse frekvens får vi: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega ,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Lad , hvor cd er Jacobi elliptiske cosinusfunktion . Så ved at bruge definitionen af en elliptisk fraktionel rationel funktion får vi: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi)$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \right)=0

hvor og . Løsning w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\venstre({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},

hvor værdierne af den inverse cd-funktion er ekspliciteret ved at bruge et heltalsindeks m .

Elliptiske poler fungerer i dette tilfælde:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).

Som i tilfældet med Chebyshev polynomier, kan dette udtrykkes i en eksplicit kompleks form [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

hvor er en funktion af og og er nulpunkterne for den elliptiske funktion. Funktionen er defineret for alle n i betydningen Jacobi elliptiske funktion. Til ordre 1 og 2 har vi $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

hvor

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

De rekursive egenskaber af elliptiske funktioner kan bruges til at konstruere højere ordens udtryk for : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\højre),

hvor $L_{m}=R_{m}(\xi,\xi).$

Elliptiske filtre med minimum Q-faktor

Se [2] Elliptiske filtre er normalt defineret ved at specificere en vis mængde krusning i pasbåndet, afvisningsbåndet og hældningen af amplituderesponsen. Disse egenskaber er afgørende for indstilling af minimumsrækkefølgen af filteret. En anden tilgang til at designe et elliptisk filter er at bestemme følsomheden af et analogt filters amplituderespons til værdierne af dets elektroniske komponenter. Denne følsomhed er omvendt proportional med den særlige eksponent ( Q-faktor ) af polerne i filterets overførselsfunktion . Kvalitetsfaktoren for en stang er defineret som:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

og er et mål for indflydelsen af en given pol på den samlede amplitudekarakteristik. For et elliptisk filter af en given orden er der en sammenhæng mellem bølgeindekset og selektivitetsfaktoren, hvilket minimerer kvalitetsfaktoren for alle poler i overførselsfunktionen:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Dette fører til eksistensen af et filter, der er mindst følsomt over for ændringer i filterkomponenternes parametre, men med denne designmetode går evnen til uafhængigt at tildele mængden af ripple i pasbåndet og undertrykkelsesbåndet tabt. For sådanne filtre, efterhånden som rækkefølgen stiger, falder krusningen i både stopbåndet og pasbåndet, og hældningen af karakteristikken omkring afskæringsfrekvensen stiger. Ved beregning af et filter med en minimumskvalitetsfaktor skal der tages højde for, at rækkefølgen af et sådant filter vil være større end ved den sædvanlige beregningsmetode. Grafen for det amplitudekarakteristiske modul vil se næsten ud som før, dog vil polerne ikke være placeret i en ellipse, men i en cirkel, og i modsætning til Butterworth-filteret , hvis poler også er arrangeret i en cirkel, afstanden mellem dem vil ikke være den samme, men på den imaginære akse vil der blive placeret nuller.

Sammenligning med andre lineære filtre

Nedenfor er grafer over amplitude-frekvenskarakteristika for nogle af de mest almindelige lineære elektroniske filtre med det samme antal koefficienter:

Som du kan se på grafen, har det elliptiske filter den højeste hældning, men det har også betydelig ripple i både pasbåndet og stopbåndet.

Se også

Bibliografi

V.A. Lucas. Teori om automatisk kontrol. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Opslagsbog om det teoretiske grundlag for radioelektronik. - M . : Energi, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Filterdesign til signalbehandling ved hjælp af MATLAB© og Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Approksimationsmetoder til elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Forsker- og ingeniørens guide til digital signalbehandling . - Anden version. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Approksimationsmetoder til elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptiv signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiv filterteori. - 4. udgave. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptive filtre - strukturer, algoritmer og applikationer . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineær forudsigelse af tale. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L.R. Rabiner , R.W. Schafer. Digital behandling af talesignaler. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digital signalbehandling i VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A.V. Oppenheim, R.W. Schafer. Digital signalbehandling . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teori og anvendelse af digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduktion til digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .