Elliptisk funktion

En elliptisk funktion er i kompleks analyse en funktion, der er periodisk i to retninger og er defineret på det komplekse plan. Elliptiske funktioner kan betragtes som analoger til trigonometriske funktioner (med kun én periode). Historisk set blev elliptiske funktioner opdaget som de omvendte funktioner af elliptiske integraler .

Definition

En elliptisk funktion er en meromorf funktion defineret på et domæne , hvor der er to komplekse tal, der ikke er nul, og sådan at $f$ $\mathbb {C}$ $-en$ $b$

f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,

og kvotienten er heller ikke et reelt tal. ${\frac {a}{b))$

Det følger af dette, at for eventuelle heltal og $m$ $n$

f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C

Ethvert komplekst tal sådan $\omega$

f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,

kaldes funktionens periode . Hvis perioderne og er sådan, at nogen kan skrives som $f$ $-en$ $b$ $\omega$

\omega =ma+nb,

de kaldes fundamentale perioder . Hver elliptisk funktion har et par fundamentale perioder. $-en$ $b$

Et parallelogram med toppunkter ved , , , kaldes et fundamentalt parallelogram . $\Pi$ $0$ $-en$ $b$ $a+b$

Egenskaber

Der er ingen ikke-konstante hele elliptiske funktioner ( Liouvilles første sætning ).
Hvis en elliptisk funktion ikke har nogen poler på grænsen af et parallelogram , så er summen af resterne ved alle poler, der ligger indeni , lig nul (Liouvilles anden sætning). $f(z)$ $\alpha +\pi$ $f(z)$ $\alpha +\pi$
Enhver elliptisk funktion med punktum og kan repræsenteres som $-en$ $b$ $f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),$

hvor h , g er rationelle funktioner, er en Weierstrass funktion med de samme perioder som y . Hvis desuden , er en lige funktion , så kan den repræsenteres som , hvor h er rationel.

\wp (z)

f(z)

f(z)

{\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )))

Elliptiske funktioner er ikke-elementære, dette blev bevist af Jacobi i 1830'erne.

Se også

Litteratur

Elliptiske funktioner // E. Knapp Elliptiske kurver. — M.: Factorial Press, 2004.
Kapitel 11 // Privalov II Introduktion til teorien om funktioner for en kompleks variabel. - M .: Statsudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1960.