Extremum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Extremum ( lat. ekstremum - ekstrem) i matematik - den maksimale eller minimale værdi af en funktion i en given mængde . Det punkt, hvor ekstremum nås, kaldes ekstremum punktet . Hvis minimum er nået, kaldes ekstremumpunktet derfor minimumspunktet , og hvis maksimum kaldes maksimumpunktet . I matematisk analyse skelnes også begrebet om et lokalt ekstremum (henholdsvis minimum eller maksimum) .

Problemerne med at finde et ekstremum opstår inden for alle områder af menneskelig viden: automatisk kontrolteori , økonomiske problemer , biologi , fysik osv. [1]

Definitioner

Lad en funktion og være et indre punkt i definitionsdomænet $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kaldes et lokalt maksimumpunkt for en funktion, hvis der eksisterer et punkteret kvarter , således at $f,$ ${\dot {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kaldes et lokalt minimumspunkt for en funktion, hvis der eksisterer et punkteret kvarter , således at $f,$ ${\dot {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ kaldes et globalt (absolut) maksimumpunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kaldes et globalt (absolut) minimumspunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Hvis ulighederne ovenfor er strenge, kaldes det et punkt med henholdsvis strengt lokalt eller globalt maksimum eller minimum. $x_{0}$

Værdien af funktionen kaldes henholdsvis det (strenge) lokale eller globale maksimum eller minimum. Punkter, der er punkter af et (lokalt) maksimum eller minimum, kaldes punkter af et (lokalt) ekstremum. $f(x_{0})$

Bemærk

En funktion defineret på et sæt må ikke have noget lokalt eller globalt ekstremum på sig. For eksempel, $f,$ $M,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Nødvendige betingelser for eksistensen af lokale ekstrema

Følgende følger af Fermats lemma [2] :

Lad punktet være et ekstremum for den funktion, der er defineret i et eller andet område af punktet .

x_{0}

f

x_{0}

Så findes enten den afledte ikke, eller .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Disse betingelser er ikke tilstrækkelige, så funktionen kan have en nulafledt i et punkt, men dette punkt er muligvis ikke et ekstremumpunkt, men er f.eks. et bøjningspunkt , ligesom punktet (0,0) af funktionen . $f(x)=x^{3}$

Tilstrækkelige betingelser for eksistensen af lokale ekstrema

Lad funktionen være kontinuert i og der eksisterer endelige eller uendelige ensidige afledte . Så under betingelsen $f\in C(x_{0})$ $x_{0}\in M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ er et punkt med strengt lokalt maksimum. Hvad hvis

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

så er et punkt med et strengt lokalt minimum. $x_{0}$

Bemærk, at i dette tilfælde er funktionen ikke nødvendigvis differentierbar på punktet . $x_{0}$

Lad funktionen være kontinuert og to gange differentierbar på punktet . Så under betingelsen $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})<0

$x_{0}$ er et lokalt maksimumpunkt. Hvad hvis

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})>0

hvilket er et lokalt minimumspunkt. $x_{0}$

Lad funktionen være differentiable gange på punktet og , og . $f$ $n$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Hvis og er lige , så er det lokale maksimumpunkt. Hvis og er lige , så er et lokalt minimumspunkt. Hvis ulige, så er der ikke noget ekstremum. $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $n$

Se også

Noter

↑ Wheat, 1969 , s. 7.
↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analyse. - 2. udg. - M . : Højere skole , 1973. - T. 1.

Litteratur

Hvede B.N. Nødvendige betingelser for et ekstremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 s.