Rotationsnummer

I dynamisk systemteori , en gren af matematik , er rotationstallet for en orienteringsbevarende homeomorfisme af en cirkel det gennemsnitlige "antal rotationer pr. iteration" over en lang iteration af et punkt. Mere præcist er det grænsen for forholdet mellem (på en eller anden måde defineret) "antal omdrejninger" og antallet af iterationer.

Definition

For en formel definition, i stedet for en cirkel-homeomorfisme, betragter man dens ophævelse for at dække cirklen med en linje . Forskydningstallet for denne hævning er defineret som grænsen $f:S^{1}\to S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

hvor er et vilkårligt punkt. Rotationstallet f defineres så som $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Egenskaber

Rotationstallet er en invariant af en orienteringsbevarende topologisk konjugation, og endda en semikonjugation ved afbildninger af grad 1: hvis er en afbildning af grad 1 sådan, at , hvor er cirkel-homeomorfismer, så er rotationsnumrene og sammenfaldende. $h:S^{1}\to S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $f$ $g$
Som Poincarés sætning siger , er rotationstallet rationelt, hvis og kun hvis kortlægningen har et periodisk punkt.
Denjoys sætning siger, at hvis en afbildning er C 2 -glat, og dens rotationstal er irrationelt, så er den konjugeret til en rotation med . $f$ $\rho (f)$ $f$ $\rho (f)$
Rotationstallet afhænger kontinuerligt af homøomorfien - kortlægningen er kontinuerlig. $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer / overs. fra engelsk. A. Kononenko med deltagelse af S. Ferleger. - M . : Faktoriel, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .