Perrin nummer

I talteorien er Perrin-tal medlemmer af en lineær tilbagevendende sekvens :

P (0)=3, P (1)=0, P (2)=2,

P ( n ) = P ( n − 2) + P ( n − 3) for n > 2.

Rækkefølgen af Perrin-numre starter med

3 , 0 , 2 , 3 , 2 , 5 , 5 , 7 , 10 , 12 , 17 , 22 , 29 , 39 , ... ( OEIS sekvens A001608 )

Historie

Denne sekvens blev nævnt af Édouard Lucas i 1876. I 1899 brugte Perrin eksplicit den samme sekvens. Den mest dybdegående undersøgelse af denne sekvens blev lavet af Adams og Shanks (1982).

Egenskaber

Genererer funktion

Perrin-tallenes genererende funktion er

G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.

Matrixrepræsentation

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}P\left(n\right)\\P\left(n+1\right)\\P\left(n+2\right)\end{pmatrix}}

En analog af Binets formel

Rækkefølgen af Perrin-tal kan skrives ud fra graden af rødderne i den karakteristiske ligning

x^{3}-x-1=0.

Denne ligning har tre rødder. En af disse rødder p er reel (kendt som plastnummeret ). Ved at bruge det og to konjugerede komplekse rødder q og r , kan man udtrykke Perrin-tallet på samme måde som Binets formel for Lucas-tal :

P\left(n\right)={p^{n}}+{q^{n}}+{r^{n}}.

Da de absolutte værdier af de komplekse rødder q og r er mindre end 1, vil potenserne af disse rødder have en tendens til 0, når n stiger . For stort n forenkler formlen til

P\left(n\right)\ca. {p^{n))

Denne formel kan bruges til hurtigt at beregne Perrin-tal for store n . Forholdet mellem successive medlemmer af Perrin-sekvensen har tendens til p ≈ 1,324718. Denne konstant spiller den samme rolle for Perrin-sekvensen, som det gyldne snit spiller for Lucas-tallene . Et lignende forhold eksisterer mellem p og Padovan-sekvensen , mellem det gyldne snit og Fibonacci-tal og mellem sølvforhold og Pell-tal .

Multiplikationsformel

Ud fra Binets formler kan vi få formler for G ( kn ) i form af G ( n −1), G ( n ) og G ( n +1). Vi ved det

{\begin{matrix}G(n-1)&=&p^{-1}p^{n}+&q^{-1}q^{n}+&r^{-1}r^{ n}\\G(n)&=&p^{n}+&q^{n}+&r^{n}\\G(n+1)&=&pp^{n}+&qq^{n}+&rr ^{n}\end{matrix}}

Hvilket giver os et system af tre lineære ligninger med koefficienter fra polynomiets ekspansionsfelt . Ved at beregne den inverse matrix kan vi løse ligningerne og få . Så kan vi hæve alle tre opnåede værdier til potensen k og beregne summen. $x^{3}-x-1$ ${\displaystyle p^{n},q^{n},r^{n))$

Et eksempelprogram i Magma-systemet :

P<x> := PolynomialRing(Rationaler()); S<t> := SplittingField(x^3-x-1); P2<y> := PolynomialRing(S); p,q,r := Explode([r[1] : r i rødder(y^3-y-1)]); Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1); T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3); v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]); [p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]] ;

Lad . Som et resultat af løsningen af systemet opnår vi $u=G(n-1),v=G(n),w=G(n+1)$

{\begin{matrix}23G(2n-1)&=&4u^{2}+3v^{2}+9w^{2}+18uv-12uw-4vw\\23G(2n)&=&- 6u^{2}+7v^{2}-2w^{2}-4uv+18uw+6vw\\23G(2n+1)&=&9u^{2}+v^{2}+3w^{2} +6uv-4uw+14vw\\23G(3n-1)&=&\left(-4u^{3}+2v^{3}-w^{3}+9(uv^{2}+vw^{ 2}+wu^{2})+3v^{2}w+6uvw\right)\\23G(3n)&=&\left(3u^{3}+2v^{3}+3w^{3} -3(uv^{2}+uw^{2}+vw^{2}+vu^{2})+6v^{2}w+18uvw\right)\\23G(3n+1)&=& \left(v^{3}-w^{3}+6uv^{2}+9uw^{2}+6vw^{2}+9vu^{2}-3wu^{2}+6wv^{2} -6uvw\right)\end{matrix}}

Tallet 23 optræder i disse formler som diskriminanten af polynomiet, der definerer sekvensen ( ). $x^{3}-x-1$

Dette gør det muligt at beregne det n'te Perrin-tal i heltalsaritmetik ved hjælp af multiplikationer. $O(\log n)$

Prime og delelighed

Pseudoprime Perrin-tal

Det er blevet bevist, at alle primtal p deler P ( p ). Det omvendte er dog ikke sandt - nogle sammensatte tal n kan dividere P ( n ), sådanne tal kaldes pseudo-primtal Perrin tal .

Eksistensen af Perrin-pseudoprimer blev overvejet af Perrin selv, men det var ikke kendt, om de eksisterede eller ej, før Adams og Shanks (1982) opdagede den mindste af dem, 271441 = 521 2 . Den næste var . Sytten pseudo-prime Perrin-tal er kendt, mindre end en milliard; [1] Jon Grantham beviste [2] at der er uendeligt mange Perrin pseudoprimer. $904631=7\ gange 13\ gange 9941$

Perrin primer

Perrin-tallene, som er primtal , danner sekvensen:

2 3 5 7 17 29 277 367 853 14197 43721 1442968193 792606555396977 187278659180417234321 662841171601071604

Weisstein fandt en sandsynlig Perrin prime P (263226) med 32147 cifre i maj 2006 [3] .

Noter

↑ OEIS -sekvens A013998 _
↑ John Grantham. Der er uendeligt mange Perrin-pseudoprimer // Journal of Number Theory : journal. - 2010. - Bd. 130 , nr. 5 . - S. 1117-1128 . - doi : 10.1016/j.jnt.2009.11.008 .
↑ Weisstein, Eric W. Perrin Sequence på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

Adams, William; Shanks, Daniel. Stærke primalitetstest, der ikke er tilstrækkelige // Mathematics of Computing : journal. - American Mathematical Society, 1982. - Vol. 39 , nr. 159 . - S. 255-300 . - doi : 10.2307/2007637 . — .

Furedi, Z.Antallet af maksimalt uafhængige sæt i forbundne grafer // Journal of Graph Theory : journal. - 1987. - Bd. 11 , nr. 4 . - S. 463-470 . - doi : 10.1002/jgt.3190110403 .

Lucas, E.Théorie des fonctions numériques simplement périodiques (fransk) // American Journal of Mathematics : magasin. - The Johns Hopkins University Press, 1878. - Vol. 1 , nr . 3 . - S. 197-240 . - doi : 10.2307/2369311 . — .

Perrin, R. Query 1484 (neopr.) // L'Intermediaire Des Mathematiciens. - 1899. - T. 6 . - S. 76 .