I talteorien er Perrin-tal medlemmer af en lineær tilbagevendende sekvens :
P (0)=3, P (1)=0, P (2)=2,og
P ( n ) = P ( n − 2) + P ( n − 3) for n > 2.Rækkefølgen af Perrin-numre starter med
3 , 0 , 2 , 3 , 2 , 5 , 5 , 7 , 10 , 12 , 17 , 22 , 29 , 39 , ... ( OEIS sekvens A001608 )Denne sekvens blev nævnt af Édouard Lucas i 1876. I 1899 brugte Perrin eksplicit den samme sekvens. Den mest dybdegående undersøgelse af denne sekvens blev lavet af Adams og Shanks (1982).
Perrin-tallenes genererende funktion er
Rækkefølgen af Perrin-tal kan skrives ud fra graden af rødderne i den karakteristiske ligning
Denne ligning har tre rødder. En af disse rødder p er reel (kendt som plastnummeret ). Ved at bruge det og to konjugerede komplekse rødder q og r , kan man udtrykke Perrin-tallet på samme måde som Binets formel for Lucas-tal :
Da de absolutte værdier af de komplekse rødder q og r er mindre end 1, vil potenserne af disse rødder have en tendens til 0, når n stiger . For stort n forenkler formlen til
Denne formel kan bruges til hurtigt at beregne Perrin-tal for store n . Forholdet mellem successive medlemmer af Perrin-sekvensen har tendens til p ≈ 1,324718. Denne konstant spiller den samme rolle for Perrin-sekvensen, som det gyldne snit spiller for Lucas-tallene . Et lignende forhold eksisterer mellem p og Padovan-sekvensen , mellem det gyldne snit og Fibonacci-tal og mellem sølvforhold og Pell-tal .
Ud fra Binets formler kan vi få formler for G ( kn ) i form af G ( n −1), G ( n ) og G ( n +1). Vi ved det
Hvilket giver os et system af tre lineære ligninger med koefficienter fra polynomiets ekspansionsfelt . Ved at beregne den inverse matrix kan vi løse ligningerne og få . Så kan vi hæve alle tre opnåede værdier til potensen k og beregne summen.
Et eksempelprogram i Magma-systemet :
P<x> := PolynomialRing(Rationaler()); S<t> := SplittingField(x^3-x-1); P2<y> := PolynomialRing(S); p,q,r := Explode([r[1] : r i rødder(y^3-y-1)]); Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1); T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3); v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]); [p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]] ;Lad . Som et resultat af løsningen af systemet opnår vi
Tallet 23 optræder i disse formler som diskriminanten af polynomiet, der definerer sekvensen ( ).
Dette gør det muligt at beregne det n'te Perrin-tal i heltalsaritmetik ved hjælp af multiplikationer.
Det er blevet bevist, at alle primtal p deler P ( p ). Det omvendte er dog ikke sandt - nogle sammensatte tal n kan dividere P ( n ), sådanne tal kaldes pseudo-primtal Perrin tal .
Eksistensen af Perrin-pseudoprimer blev overvejet af Perrin selv, men det var ikke kendt, om de eksisterede eller ej, før Adams og Shanks (1982) opdagede den mindste af dem, 271441 = 521 2 . Den næste var . Sytten pseudo-prime Perrin-tal er kendt, mindre end en milliard; [1] Jon Grantham beviste [2] at der er uendeligt mange Perrin pseudoprimer.
Perrin-tallene, som er primtal , danner sekvensen:
2 3 5 7 17 29 277 367 853 14197 43721 1442968193 792606555396977 187278659180417234321 662841171601071604Weisstein fandt en sandsynlig Perrin prime P (263226) med 32147 cifre i maj 2006 [3] .