Heaviside funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. februar 2021; checks kræver 8 redigeringer .

Heaviside-funktionen ( enhedstrinfunktion , enhedsspringfunktion , inkluderet enhed , “trin” ) er en stykkevis konstant funktion lig med nul for negative værdier af argumentet og én for positive [1] . Ved nul er denne funktion generelt ikke defineret, men den forlænges normalt på dette tidspunkt med et vist tal, således at funktionens domæne indeholder alle punkter på den reelle akse. Oftest er det ligegyldigt, hvilken værdi funktionen har ved nul, så forskellige definitioner af Heaviside-funktionen kan bruges, praktisk af den ene eller anden grund , for eksempel:

\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

Heaviside-funktionen er nem at skrive ved hjælp af Iverson-beslaget :

\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].

Heaviside-funktionen er meget udbredt i det matematiske apparat inden for kontrolteori og signalbehandlingsteori til at repræsentere signaler, der går fra en tilstand til en anden på et bestemt tidspunkt. I matematisk statistik bruges denne funktion for eksempel til at skrive den empiriske fordelingsfunktion . Opkaldt efter Oliver Heaviside .

Heaviside-funktionen er antiderivatet for Dirac delta-funktionen , , som også kan skrives som (det bestemte integral er et tal, det ubestemte integral [2] bruges til at beskrive antiderivatet ): $\theta '=\delta$

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\!\delta (t)\,dt.

Diskret form

Man kan definere den diskrete Heaviside-funktion som en funktion af et heltalsargument : $n$

\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}

hvor er et heltal . $n$

Den diskrete enhedsimpuls er den første forskel i den diskrete Heaviside-funktion:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Analytiske formularer

For mere bekvem brug kan Heaviside-funktionen tilnærmes ved hjælp af en kontinuerlig funktion:

\theta (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {th}}\,kx={\frac {1}{1+e^ {{-2kx}}}},

hvor den største svarer til en stejlere stigning af funktionen i punktet . Givet den nødvendige bredde af overgangsområdet for Heaviside-funktionen , kan værdien estimeres til . $k$ $x=0$ $\Delta {x}$ $k$ $k\ca. {\frac {10}{\Delta {x}}}$

Hvis vi accepterer , kan ligningen skrives i den begrænsende form: $\theta(0)=1/2$

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {1}{2}}(1+{\mathrm {th}}\,kx)=\lim _{{k\ til \infty }}{\frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Der er flere andre tilnærmelser ved kontinuerlige funktioner:

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}} \,kx\right);

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,{\mathrm {erf} }\,kx\right).

Optagelse

Identitetsfunktionens integrerede form bruges ofte og er nyttig:

\theta (x)=-\lim _{{\varepsilon \to 0^{+}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{-\infty }}^{ \infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{{-ix\tau }}\,d\tau .

Nul værdi

Værdien af en funktion ved nul er ofte givet som , eller . - den mest almindelige mulighed, da det på grund af symmetri ved diskontinuitetspunktet af den første slags er praktisk at udvide funktionen med det aritmetiske middelværdi af de tilsvarende ensidede grænser, og i dette tilfælde er Heaviside-funktionen desuden relateret til tegnfunktionen : $\theta(0)=0$ $\theta(0)=1/2$ $\theta(0)=1$ $\theta(0)=1/2$

\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatørnavn{sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2} },&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

som under hensyntagen til definitionen af tegnfunktionen kan udtrykkes som

\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{ 2x}}

En værdi på nul kan udtrykkeligt angives i en funktionsindgang:

\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

Fourier transformation

Den afledte af Heaviside-funktionen er lig med delta-funktionen (det vil sige, at Heaviside-funktionen er anti-derivatet af deltafunktionen):

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\delta (t)\,dt

Ved at anvende Fourier-transformationen på den antiderivative delta-funktion får vi derfor dens billede af formen: $\theta (t)$

{\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega),

det er:

\theta (t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1 }{2}}\delta (\omega )\right)e^{{i\omega t}}\,d\omega

(det andet led - svarende til nul-frekvensen i udvidelsen - beskriver en konstant opadgående forskydning af Heaviside-funktionen; uden den ville en ulige funktion opnås ).

Historie

Denne funktion blev brugt, selv før dens praktiske notation dukkede op. For eksempel udgav Guglielmo Libri i 1830'erne flere artikler [3] [4] om funktionen . Efter hans mening er lig med hvis ; if (se Nul i potensen af nul ); eller hvis . Således konkluderer Libri, at det er lig med 1 hvis , og 0 ellers. Ved at bruge Iverson-notation kunne dette skrives som $0^{0^{x))$ ${\displaystyle 0^{x))$ $0$ $x>0$ $en$ $x=0$ $\infin$ $x<0$ $0^{0^{x))$ $x>0$

0^{0^{x}}=[\,x>0\,].

Men der var ingen sådan notation på det tidspunkt, og Libri anså det for en præstation, at denne funktion kunne udtrykkes i form af matematiske standardoperationer. Han brugte denne funktion til at udtrykke den absolutte værdi (der var ingen betegnelse dengang, den blev indført senere af Weierstrass ) og en indikator for forhold som , og endda " er en divisor " [5] . $|x|$ $a\leq x\leq b$ $x$ $y$

Se også

Noter

↑
I teorien om automatisk kontrol og teorien om Laplace-operatører betegnes det ofte som . I engelsk litteratur, eller betegnes ofte . Se f.eks. $\scriptstyle {\eta (x)}$ $\scriptstyle {H(x)}$ $\scriptstyle {1(x)}$
- Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Integrale transformationer og operationel beregning: Proc. for universiteter / Ed. BC Zarubina, A.P. Krishchenko. - 2. udg. - M . : Forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 228 s. — (Matematik ved det tekniske universitet; hæfte XI). — ISBN 5-7038-1273-9 . ;
- Metoder til klassisk og moderne teori om automatisk kontrol: Lærebog i 5 bind; 2. udg., revideret. og yderligere Vol. 1: Matematiske modeller, dynamiske karakteristika og analyse af automatiske styresystemer / Red. K. A. Pupkova, N. D. Egupova. - M .: Forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 2004. - 656 s. - ISBN 5-7038-2189-4 (bind 1).
↑ Zorich V.A. Matematisk analyse. Del I .. - M.: MTSNMO, 2012. - S. 358.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions ophører, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ Donald E. Knuth, To noter om notation, Amer. Matematik. Månedlig 99 nr. 5 (maj 1992), 403-422 ( arXiv: math/9205211 [math.HO] Arkiveret 20. november 2018 på Wayback Machine ).