Haar funktion

Haar-funktionen er en stykkevis konstant funktion. Bestemt på intervallet . Rækkefølgen af Haar-funktioner danner et ortogonalt system. Det blev først bygget af Alfred Haar [1] . Enhver funktion, der er Lebesgue-integrerbar på intervallet , kan udvides til en række Haar-funktioner svarende til udvidelsen til Fourier- serien :. $\left[0,1\right)$ $\left[0,1\right)$ $f(x)\sim c_{0}\chi _{0}^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1} ^{2m}c_{m}^{(k)}\chi _{m}^{(k)}(x)$

Definition

De to første Haar-funktioner er defineret som følger:

\chi _{0}^{(0)}(x)=1

\chi _{0}^{(1)}(x)={\begin{cases}1,x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right)\\ 0,x={\frac {1}{2}}\\-1,x\in \left({\frac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Andre Haar-funktioner er defineret for alle naturlige : ${\displaystyle m\geqslant 1,1\leqslant k\leqslant 2^{m))$

\chi _{m}^{(k)}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2^{m))},x\in \left({\frac {k-1 }{2^{m))},{\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}}\right)\\-{\sqrt {2^{m} )),x\in \left({\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}},{\frac {k}{2^{m}}}\ højre)\\0,x\in \left({\frac {l-1}{2^{m}}},{\frac {l}{2^{m}}}\right)\end{caser }}

Her :. ${\displaystyle l\neq k,1\leqslant l\leqslant 2^{m))$

Egenskaber

Sættet af Haar-funktioner er et ortonormalt system [2] .
For en funktion, der er Lebesgue-integrerbar , konvergerer Haar-udvidelsen til denne funktion næsten overalt.
Haar-udvidelsen for en funktion konvergerer til den funktion ved hvert kontinuitetspunkt for denne funktion og konvergerer ensartet på hvert interval, hvor funktionen er ensartet kontinuerlig.

Noter

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Matematik. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53
↑ Aleksich, 1963 , s. 55.

Litteratur

Aleksich G. Problemer med konvergens af ortogonale serier. - M . : Udenlandsk litteratur, 1963. - 359 s.