Riemann funktion (RFDF)

Riemann-funktionen er et eksempel på en funktion af en reel variabel , der er kontinuert på mængden af irrationelle tal , men diskontinuerlig på mængden af rationelle tal . Som sådan spiller det en vigtig rolle i matematisk analyse [1] . Det er en modifikation af Dirichlet-funktionen . I russiske kilder kaldes den normalt "Riemann-funktionen" til ære for Bernhard Riemann , i engelsk litteratur har denne funktion en masse andre navne: Thomaes funktion, popcorn-funktionen, regndråbefunktionen, den tællelige skyfunktion, den modificerede Dirichlet funktion, linealfunktionen [2] .

Definition

Riemann-funktionen er defineret for et reelt argument som følger. $R(x)$ $x$

Hvis er et irrationelt tal , så er funktionen lig nul. Hvis er et rationelt tal repræsenteret som en irreducerbar brøk (hvor ), så er værdien af funktionen lig med $x$
$x$ ${\frac {m}{n}}$ $n>0$ ${\frac {1}{n).$

Især . $R(0)=1$

Egenskaber

Funktionen er begrænset - den tager værdier i intervallet Den er periodisk med en periode svarende til 1: $R(x)$ $[0,1].$ $f(x+1)=f(x).$

Funktionen er kontinuerlig overalt på sættet af irrationelle tal, da grænsen for funktionen ved hvert sådant punkt er lig med nul, men er diskontinuerlig i alle rationelle punkter. Desuden har funktionen på hvert rationelt punkt et strengt lokalt maksimum [3] .

Riemann-funktionen er intetsteds differentierbar , men Riemann kan integreres på ethvert interval. I dette tilfælde er integralet nul overalt, da funktionen er nul næsten overalt . Bemærk, at den relaterede Dirichlet-funktion ikke er Riemann-integrerbar [4] .

Noter

↑ Shibinsky, 2007 , s. 24.
↑ William Dunham. Calculus Gallery . - Princeton University Press, 2005. - S. 149 . — ISBN 0-691-09565-5 .
↑ Shibinsky, 2007 , s. 62-63.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 146-147.

Litteratur

Shibinsky VM Eksempler og modeksempler i løbet af matematisk analyse. Tutorial. - M . : Højere skole, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Riemann funktion (RFDF)

Definition

Egenskaber

Noter

Litteratur

Links