Funktionelt integral
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .Funktionel integral (sti-integral, sti-integral, Feynman-sti-integral, Feynman-integral) er en registrering eller et resultat af funktionel integration (sti-integral). Det finder sin største anvendelse inden for kvantefysik ( kvantefeltteori , strengteori osv.) og statistisk fysik, såvel som i studiet af en række klasser af stokastiske processer generelt.
Funktionel integration betyder formelt beregningen af integralet af en funktionel Ф over rummet af funktioner x ( t ) eller en delmængde [1] af et sådant rum:
![{\displaystyle \int Dx\,\Phi [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf4c074f46d7e99b3f422b9df83a4d016a2470)
som er defineret som grænsen for det (endelig-dimensionelle) integral over rummet af visse finit-dimensionelle tilnærmelser af funktionerne x ( t ), da dimensionen af disse tilnærmelser har en tendens til uendelig; den sædvanlige og enkleste måde er at betragte funktionen x på et endeligt sæt af punkter og derefter definere det funktionelle integral i det enkleste tilfælde af en ensartet partition, som kan begrænses, som
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2 },\dots ,x_{N}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a1a501a77b8dcf41b9dc80e7f457621f2cf959)
hvor der med menes den tilsvarende tilnærmelse af den funktionelle Ф[ x ], mens integration menes separat over fra til (i tilfælde af faste og over dem er det ikke nødvendigt at integrere).
![{\displaystyle \Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690da5b7697a4d9fc38bf0864ce2b369f052962a)
Rigtigheden af denne definition er allerede i tvivl i den forstand, at selv for mange af de tilfælde, der er af fysisk interesse, for ikke at nævne en mere generel formulering af spørgsmålet, selve eksistensen af grænsen (især dens ensartethed, når man vælger forskellige typer af partitioner) er ikke blevet bevist; desuden giver forskellige typer i en række eksempler forskellige resultater), og i mange tilfælde er der ingen måde at specificere klare kriterier for at vælge den "korrekte" type partitionering, som vil føre nøjagtigt til det ønskede resultat, hvilket betyder, at rigtigheden af at bestemme integrationsmålet ikke er blevet bevist selv for mange af de tilfælde, som er af fysisk interesse, i hvert fald i sædvanlig forstand.
En alvorlig vanskelighed er også den nøjagtige beregning af sådanne integraler (med undtagelse af det Gaussiske tilfælde).
Ikke desto mindre giver selv det faktum, at i det mindste integraler af Gaussisk type er nøjagtigt beregnet, meget for anvendelsen af metoden til funktionel integration. Især kan dette resultat tages som definitionen af et funktionelt integral for dette tilfælde og bevise, at det, da det er defineret således, virkelig har egenskaberne som et integral: det tillader integration af dele, ændringer af variable osv. [2]
Den fysiske betydning af det funktionelle integral reduceres normalt til at beregne summen (superposition) af en bestemt størrelse (normalt er det sandsynligheden for klassisk statistisk fysik eller sandsynlighedsamplituden for kvantemekanik) over "alle" baner (det vil sige over alle tilgængelige klassiske partikler i tilfælde af Brownsk bevægelse og langs alt tænkeligt i tilfælde af kvantemekanik).
Hovedapplikation
Modeller
En almindelig tilfældig gåtur kan, når den omformuleres, generere en sti, der er integreret med en bestemt handling. Dette er generelt relativt indlysende i simple tilfælde.
Det blev vist, at en lignende måde at generere et sti-integral med den sædvanlige handling også virker i det todimensionale tilfælde - at opnå en handling for en streng (et todimensionelt objekt, der tager tidsdimensionen i betragtning).
Fysiske analogier
Analogien af vejintegralet for en punktpartikel er partitionsfunktionen (statistisk vægt) for en polymertråd [3] .
Beregning
Præcis beregning
Som nævnt ovenfor, den nøjagtige beregning af det funktionelle integral af formularen
![{\displaystyle \int Dx\,e^{kS[x]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9bd06c28e8148ca0424fed22934e98f2ab74a5)
hvor k kan være rent imaginært i kvantetilfældet eller reelt i tilfælde af klassisk diffusion, kun hvis det er af gaussisk type, det vil sige, når handlingen af S er kvadratisk i x ( lagrangen er kvadratisk i x og dens afledte, eller måske endda i nogle lignende tilfælde: hovedsagen er, at S er en andengradsform, negativ bestemt i det virkelige tilfælde).
Metoden går ud på at skrive en diskret version i overensstemmelse med definitionen i begyndelsen af artiklen. De (almindelige) integraler, der kommer ind i formlen, tages så nøjagtigt (som Gausser ), og man kan så gå til grænsen.
Tilnærmet beregning
Numeriske metoder
Beregningsmetoder relateret til at finde værdierne af stiintegraler ved hjælp af en computer, herunder kvadraturformler som Simpsons formler og andre metoder, er blevet udviklet ret omfattende i 2010, selvom de hovedsageligt kun bruges af snævre specialister og for de fleste del er ikke kendt af fysikere.
Historie
Den første fremkomst af stiintegraler refererer tilsyneladende til Einsteins og Smoluchowskis arbejde[ klargør ] om teorien om Brownsk bevægelse .
Grundlaget for den matematiske teori om sådanne integraler er knyttet til Wieners arbejde i 1920'erne . Imidlertid støder deres strenge og tilstrækkeligt fuldstændige matematiske teori stadig på betydelige vanskeligheder (associeret med spørgsmålet om den korrekte indførelse af en foranstaltning om funktionernes rum, med problemet med at bevise uafhængigheden af grænsen for typen af partition i en ret generel sag).
I 1933 (i sit arbejde "Lagrangian in Quantum Mechanics") foreslog Dirac ideen om at bruge stientegralet i kvantemekanik.
Feynman implementerede dette program i slutningen af 1940'erne ved at udvikle stien integral formalisme, som viste sig at være ekstremt frugtbar i teoretisk fysik. Det betød fremkomsten af en teknisk ny (som udover de rent tekniske også havde en række intuitive fordele) metode til at konstruere kvanteteorier, som efterfølgende blev den måske mest populære blandt teoretikere. Feynman selv byggede på grundlag af stiintegralets formalisme en så grundlæggende teknik inden for kvantefeltteori som Feynman-diagrammer .
Ved at bruge sti-integralet blev der opnået så grundlæggende resultater som for eksempel beviset for renormaliserbarheden af Yang-Mills teorien ( Faddeev og Popov ).
Se også
- Formulering i form af sti-integraler
- Gaussisk kontinuumfordeling
- Wicks sætning for det funktionelle integral
- Kvantefeltforstyrrelsesteori i statistisk fysik
Noter
- ↑ Det mest typiske eksempel på et integrationsdomæne i et rum af funktioner er sættet af alle funktioner i et givet rum, der opfylder betingelsen om at fiksere deres værdier ved to punkter (ved enderne af et segment).
- ↑ Artikel i Physical Encyclopedia Archival kopi dateret 29. februar 2012 på Wayback Machine (A. A. Slavnov).
- ↑ Polyakov, 1999 .
Litteratur
- Simon B. Funktionel integration og kvantefysik. — Academic Press, 1979.
- Berezin F. A. Anden kvantiseringsmetode. — M .: Nauka , 1986. — 320 s.
- Zinn-Justin J. Kontinuum integral i kvantemekanik. — M .: Fizmatlit , 2010. — 360 s.
- Lobanov Yu Yu. Tilnærmede funktionelle integrationsmetoder til numerisk undersøgelse af modeller i kvantefysik (afhandling for doktorgraden i fysiske og matematiske videnskaber). - M. , 2009.
- Polyakov A. M. Målefelter og strenge. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 s.
- Popov VN Continuum integraler i kvantefeltteori og statistisk mekanik. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 s.
- Slavnov AA, Faddeev LD Introduktion til kvanteteorien for målefelter. — M .: Nauka , 1988. — 272 s.
- Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Kontinuumintegraler. — M .: Nauka , 1990. — 150 s.
- Feynman R., Hibs A. Kvantemekanik og stiintegraler. — M .: Mir , 1968. — 384 s.
- Shestakova TP Metode til vejintegral i kvantefeltteori. - Izhevsk: IKI, 2005. - 228 s.