Frobenius normal form

I lineær algebra er Frobenius normalformen af en lineær operator A den kanoniske form af dens matrix, svarende til den minimale nedbrydning af et lineært rum til en direkte sum af underrum invariante under A, hvilket kan opnås som et lineært spænd af nogle vektor og dens billeder under påvirkning af A. Det vil være blok-diagonal matrix bestående af Frobenius-celler af arten

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

En sådan matrix kaldes et ledsagende polynomium . ${\displaystyle x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0))$

Udtalelse af sætningen

Lad V være et endeligt-dimensionelt vektorrum over et felt k , A være en lineær operator på dette rum. Så er der en basis V sådan, at matricen A i denne basis er blok-diagonal , dens blokke er ledsagende matricer for unitære polynomier sådan, der er delelig med . Polynomier er unikt definerede. $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Bevis

En lineær operator på et vektorrum gør dette rum til et modul over en polynomialring k [ x ] (multiplikation med x svarer til at anvende en lineær operator). En polynomialring er euklidisk , derfor et principielt idealdomæne , så vi kan anvende struktursætningen for endeligt genererede moduler over principielle ideelle ringe . Vi bruger nemlig rummets nedbrydning til en direkte sum af invariante faktorer. En individuel faktor er af formen k[x]/f(x) , lad graden af f være n . Vi vælger en basis i dette underrum, da billederne af polynomierne 1, x, x 2 ... x n-1 i faktoriseringsafbildningen, er det let at se, at matricen for "multiplikér med x"-operatoren i denne basis falder sammen med den ledsagende matrix af polynomiet f(x) . Ved at vælge baser af denne type i hver faktor får vi en matrix af den nødvendige type. Invariansen af polynomier følger af invariansen af faktorer i struktursætningen. $f_{i}$

Eksempler

Et eksempel på en generel holdning.

Hvis alle egenværdierne af en matrix er forskellige, vil dens Frobenius-normalform være en matrix, der består af nøjagtig en blok:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

og tallene er koefficienterne for det karakteristiske polynomium. $a_{{i}}$

Flere blokke kan kun forekomme, hvis matrixegenværdierne er de samme.

ekstremt eksempel.

Overvej en skalar matrix, det vil sige en diagonal matrix, således at alle tal på diagonalen er lig med det samme tal . For en sådan matrix vil dens Frobenius-normale form være sig selv. Det vil sige, at hver værdi på diagonalen er en Frobenius-underblok på 1 x 1. Og alle polynomier er lig med hinanden og lig med . Bemærk, at når den konjugeres af en hvilken som helst matrix, forbliver en skalær matrix sig selv, det vil sige, at konjugation i princippet ikke kan ændre sin form, hvilket svarer til, at den selv er dens Frobenius normalform. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

For en 2-by-2 matrix, der er en Jordan-celle:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix))$ dens Frobenius normalform er matrixen :. Det vil sige en blok 2 gange 2. Især er det let at se, at sporene og determinanterne for disse matricer er de samme. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

For en 3 gange 3 matrix, der er en Jordan-celle:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix))

dens Frobenius normalform er matrixen:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Disse eksempler viser, at sammenfaldet af egenværdier ikke er en tilstrækkelig betingelse for fremkomsten af flere blokke. (Selvom det er nødvendigt - som nævnt ovenfor).

Disse eksempler er generaliserede til tilfældet med matricer af vilkårlig størrelse - for en Jordan-celle af fuld størrelse har dens Frobenius-normalform en blok, og den sidste kolonne er givet af koefficienterne for polynomiet taget med et minustegn. (Dette polynomium er karakteristisk og minimalt for denne matrix). ${\displaystyle (x-\lambda )^{n))$

En matrix, der har en Jordan-normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(for ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

har en Frobenius normalform bestående af en enkelt 3 gange 3 blok:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&2\lambda _{1}+\lambda _{1}\end{pmatrix}}

Polynomiet er , det er et karakteristisk og minimalt polynomium. $f_{1}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Eksempler med to blokke.

Overvej en matrix, der har en Jordan-normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(for ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

dens Frobenius normalform er en matrix bestående af to underblokke, den første 1 gange 1 og den anden 2 gange 2:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&0&-\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&(\lambda _{1}+\lambda _{2}) \end{pmatrix}}

Polynomier er givet ved formler , og det er let at se, at (det vil sige et polynomium deler et polynomium ) . Et polynomium er et minimalt polynomium. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

En matrix, der har en Jordan-normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

dens Frobenius normalform er en matrix bestående af to underblokke, den første 1 gange 1 og den anden 2 gange 2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

Polynomier er givet ved formler , og det er let at se det (det vil sige, at et polynomium deler et polynomium ). Et polynomium er et minimalt polynomium. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda )$ $f_{2}=(x-\lambda )^{2}$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

Yderligere eksempler. Hvis en matrix er nilpotent, falder dens jordanske og Frobenius normale former sammen (op til transponering). Faktisk er egenværdierne for den nilpotente matrix lig med nul, ligesom koefficienterne for det karakteristiske polynomium, det vil sige, at de ikke-trivielle elementer i begge former forsvinder, og enheder, indtil transposition, er placeret i begge former i den samme måde.

Egenskaber

Det højeste af polynomierne falder sammen med det mindste polynomium i matrixen. Produktet af alle polynomier er lig med det karakteristiske polynomium i matrixen. Blokstørrelserne på Frobenius normalform er de samme som potenserne af polynomierne . Egenskaben medfører naturligvis et identisk sammenfald af polynomier , hvis de har samme grad. Derfor, hvis blokke i Frobenius normalform har samme størrelse, så falder de identisk sammen. ${\displaystyle f_{i))$ ${\displaystyle f_{i))$ $f_{i}|f_{i+1}$ $f_{i},f_{i+1}$

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5. udg. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M. V., Tolkachev M. M., Tyshkevich R. I., Fedenko A. S. Ch . 83. — 269 s.
David S. Dummit og Richard M. Foote. Abstrakt algebra. 2. udgave, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .