Finsler geometri

Finsler geometri er en af generaliseringerne af Riemannsk geometri . Finsler-geometri omhandler manifolds med en Finsler-metrik; det vil sige ved at vælge en norm på hvert tangentrum, der varierer jævnt fra punkt til punkt.

Grundlæggende begreber

Lad være en dimensionelt forbundet glat manifold og være et tangentbundt . $M$ $n$ $TM$ $M$

En Finsler-metrik på er en kontinuerlig funktion, således at dens begrænsning til ethvert tangentrum er en norm. I dette tilfælde antages normalt følgende yderligere egenskaber: $M$ $F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(glathed) er -glat funktion ikke ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus \{0\})$
(Stærk konveksitet) For ethvert par, den bilineære form $(x,y)\in TM$

\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\ gange T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}

positivt defineret.

Noter

Hvis vi sætter

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}} [F^{2}(x,y)]

så kan formularen omskrives som $\mathbf {g} _{y}(u,v)$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j))$

For ethvert vektorfelt, der ikke er nul, defineret på , er der en Riemann-metrik på . $Y$ $U\subset M$ $\mathbf {g} _{Y}(u,v)$ $U$

For en jævn kurve på en manifold med en Finsler-metrik er længden givet af et integral . $c:[a,b]\rightarrow M$ $M$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\dot {c))(t))dt$

Chern (eller Rund) covariant differentieringsoperator er defineret som hvor , og $\nabla :T_{x}M\ gange \Gamma ^{\infty }(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial } {\partial x^{i))}|_{x},$ $y\in T_{x}M$ $U\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j))}\venstre[{\frac {1}{4))g^{ il}(x,y)\venstre\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}} {\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\right].$

Den således introducerede forbindelse på en manifold er generelt ikke en affin forbindelse. En forbindelse er affin, hvis og kun hvis Finsler-metrikken er en Berwald-metrik[ angiv ] . Per definition betyder det, at de geodætiske ligninger har samme form som i Riemannsk geometri, eller de geodætiske koefficienter

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl)) {\partial x^{k))}(x,y)-{\frac {\partial g_{jk)){\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{j }y^{k}$ repræsentere i formen $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

For en vektor skal du overveje funktionerne . Så kaldes transformationsfamilien den Riemannske krumning. Lade være et tangent 2-dimensionelt plan. For en vektor definerer vi hvor er sådan en vektor der . afhænger ikke af valg . Nummeret kaldes flagets krumning i . $y\in T_{x}M\backslash \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G ^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{ \partial y^{j}\partial y^{k))}-{\frac {\partial G^{i)){\partial y^{j))}{\frac {\partial G^{j} }{\partial y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i)) }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\højrepil T_{x}M,y\i T_{x}M\backslash \{0\},x\i M\right\ }$ $P\subset T_{x}M$ $y\in P\backslash \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $u\i P$ ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\))$ $K(P,y)$ $u\i P$ $K(P,y)$ $(P,y)$ $T_{x}M$

Historie

Ideen om et Finsler-rum kan allerede ses i Riemanns foredrag "On the Hypotheses Underlying Geometry" (1854). Sammen med metrikken givet af den positive kvadratrod af en positiv bestemt kvadratisk differentialform (den riemannske metrik ), betragter Riemann også metrikken givet af den positive fjerde rod af den fjerde ordens differentialform. Finsler-metrikken er følgende naturlige generalisering.

Den systematiske undersøgelse af manifolder med en sådan metrik begyndte med afhandlingen af Paul Finsler , udgivet i 1918 , så navnet på sådanne metriske rum er forbundet med hans navn. Den faktor, der lagde grundlaget for forskningsaktiviteter i denne retning, er Carathéodorys introduktion af nye geometriske metoder i variationsregningen for at studere problemer i parametrisk form. Kernen i disse metoder er begrebet indicatrix , og indicatrixens konveksitet spiller en vigtig rolle i disse metoder, da det sikrer opfyldelsen af de nødvendige minimumsbetingelser i variationsproblemet for stationære kurver.

Et par år senere, i den generelle udvikling af Finsler-geometrien, skete der en drejning fra Finslers oprindelige synspunkt til nye teoretiske metoder. Finsler, styret hovedsageligt af koncepterne i variationskalkylen, brugte ikke metoderne til tensoranalyse . I 1925 blev tensoranalyse anvendt på teori næsten samtidigt af Sing , Taylor ( engelsk JH Taylor ) og Berwald ( tysk L. Berwald ). I 1927 foreslog Berwald en generalisering, der ikke tilfredsstiller den positive bestemthed af metrikken, senere kendt som Berwald-Moor-rummet .

Den næste drejning i udviklingen af teorien fandt sted i 1934, da Cartan udgav en afhandling om Finsler-rum. Den kartanske tilgang har domineret stort set al efterfølgende forskning i Finsler-rums geometri, og flere matematikere har givet udtryk for den opfattelse, at teorien har nået sin endelige form som et resultat. Cartans metode førte til udviklingen af Finsler geometri ved direkte at udvikle metoderne til Riemann geometri.

Cartans metoder især Wagner , Busemann og Rund De understregede, at den naturlige lokale metriske værdi for et Finsler-rum er Minkowski-metrikken , mens en vilkårlig pålæggelse af den euklidiske metrisk fører til tab af de mest interessante karakteristika ved Finsler-rum. Af disse grunde blev yderligere teorier fremsat i begyndelsen af 1950'erne, som et resultat af hvilke mærkbare vanskeligheder opstod, bemærkede Busemann om dette emne: "Finsler geometri fra siden er en skov, hvor al vegetation består af tensorer " .

Litteratur

På russisk

G.S. Asanov. Finsler-rum med en algebraisk metrik bestemt af et felt af rammer - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Probl. geom., 8, VINITI, M. , 1977, 67-87.
V. I. Bliznikas. Finsler-rum og deres generaliseringer - Itogi Nauki. Ser. Måtte. Algebra. Poppel. Geom. 1967, VINITI, M. , 1969, 73-125.
V. G. Zhotikov. Introduktion til Finslers geometri og dens generaliseringer (for fysikere) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P.K. Rashevsky. Polymetrisk geometri, - Proceedings af seminaret om vektor- og tensoranalyse med deres anvendelser til geometri, mekanik og fysik. Udgave 5. OGIZ, 1941.
P.K. Rashevsky. Geometrisk teori for partielle differentialligninger, - Enhver udgave.
H. Rund. Differentialgeometri af Finsler-rum, - M. : "Nauka", 1981.

På engelsk

PL Antonelli. Handbook of Finsler geometri, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern og Z. Shen. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. Finsler-geometrien er bare den Riemannske geometri uden den kvadratiske begrænsning - Meddelelser AMS, 43, september 1996.
Z Shen. Lectures on Finsler Geometry, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Differentiel geometri af spray- og Finsler-rum, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Finsler geometri

Grundlæggende begreber

Noter

Historie

Litteratur

Links