Routh ligninger

Routh-ligningerne er differentialligninger for bevægelse af et mekanisk system med ideelle to-vejs holonomiske begrænsninger .

Foreslået af E. J. Routh i 1876 [1] i forbindelse med hans metode til at eliminere cykliske koordinater fra bevægelsesligningerne [2] . De er en slags kombination af Lagranges ligninger af den anden slags og Hamiltons ligninger .

Tegning af Rouths ligninger

Hvis tilstandsvariablenes rolle i Lagrange-ligningerne af anden art spilles af Lagrange-variablerne (generaliserede koordinater og generaliserede hastigheder ), og i Hamilton-ligningerne - af Hamilton- variablerne (generaliserede koordinater og generaliserede momenta ), så er Routh tilgang giver mulighed for underopdeling af de generaliserede koordinater (såvel som de tilsvarende generaliserede impulser) i to grupper og en beskrivelse af tilstanden af det mekaniske system ved hjælp af Routh-variablerne [3] : $q_{_{i))$ ${\dot {q_{_{i))))$ $q_{_{i))$ $p_{_{i))$

q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1))))),\dots ,{\dot {q_{_{r }}}},\,p_{_{r+1}},\dots,p_{_{s}}\,\,;

her er antallet af frihedsgrader ,. Generaliserede impulser defineres på den sædvanlige måde - som partielle derivater af Lagrange-funktionen , hvor er tid, med hensyn til generaliserede hastigheder: $s$ $r\leqslant s$ $p_{_{i))$ $L\,=\,L\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\dot {q_{_{s}}}},\,t)$ $t$

(*)\qquad p_{_{i}}\;=\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{_{i}}}}}}\,,\ qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s\,\,.

Relationerne netop nedskrevet er et ligningssystem for den anden gruppes generaliserede hastigheder. I det tilfælde, hvor det mekaniske system er naturligt , dvs. Lagrange - funktionen introduceres [ 4 ] som forskellen, viser ligningssystemet sig at være et system af lineære algebraiske ligninger. $sr$ $L\,=\,T-\Pi$ $T$ $\Pi$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),t)$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))), \dots ,{\dot {q_{_{s}}}},\,t)$ $(*)$

Yderligere antages det, at ligningssystemet er entydigt løseligt med hensyn til den anden gruppes generaliserede hastigheder. For naturlige systemer vil dette altid være tilfældet, fordi determinanten for et system af lineære ligninger er en af de vigtigste minorer i matrixen sammensat af systemets inertikoefficienter , men sidstnævnte er positivt defineret [5] , så at dens vigtigste mindreårige er positive efter Sylvester-kriteriet og derfor ikke er nul. For ikke-naturlige systemer betragtes antagelsen [4] som et yderligere krav pålagt funktionen . $(*)$ $L$

Under disse antagelser, for at sammensætte Routh-ligningerne, finder man [6] [7] et eksplicit udtryk for Routh-funktionen (Rouse kaldte den selv [8] "den modificerede Lagrange-funktion").

R\;=\;L\,-\sum _{i=r+1}^{s}p_{_{i}}{\dot {q_{_{i}}}}

gennem Routh-variabler og tid:

R\;=\;R\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,p_{_{r+1}},\dots ,p_{_{s}}\,t)

(hvorfor de generaliserede hastigheder er udelukket, ved hjælp af relationerne , fra det oprindelige udtryk for ), hvorefter disse ligninger skrives [9] [10] : ${\dot {q_{_{r+1)))),\dots ,{\dot {q_{_{s))))$ $(*)$ $R$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\prikker ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i))))\,,\qquad {\frac ({\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\ ;{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,+\,Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s;

her er generaliserede ikke-potentielle kræfter [11] . Gyldigheden af Routh-ligningerne kan verificeres ved at udsætte Lagrange-ligningerne af den anden slags for simple transformationer [9] [12] . $Q\,'_{_{i))$

Routh-ligningerne har en lagrangisk form for de generaliserede koordinater for den første gruppe og en Hamiltonsk form for koordinaterne for den anden gruppe. Ved , er Routh-ligningerne reduceret til Lagrange-ligningerne af anden art , og ved , passerer de (hvis vi introducerer Hamilton-funktionen ved ligheden ) til Hamilton-ligningerne [13] . $r=0$ $r=s$ $H$ $H=-R$

Anvendelse af Routh-ligningerne

Metode til eliminering af cykliske koordinater

Hovedanvendelsen af Routh-ligningen findes inden for rammerne af den af ham foreslåede metode til at eliminere cykliske koordinater fra bevægelsesligningerne ( udtrykket "Rouss-procedure til at ignorere cykliske koordinater" bruges også [14] [15] ). Routh omtalte selv cykliske koordinater som "manglende koordinater"; udtrykket "cykliske koordinater" blev introduceret [16] i 1884 af G. Helmholtz [17] .

Lad koordinaterne være cykliske , dvs. for følgende betingelser er opfyldt [15] : $q_{_{r+1}},\dots ,q_{_{s}}$ $i\,=\,r+1,\dots ,s$

Routh-funktionen afhænger ikke af dem: (denne betingelse svarer [18] til at være uafhængig af Lagrange-funktionen eller Hamilton-funktionen); ${\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,=\,0$ $q_{_{i))$
generaliserede ikke-potentielle kræfter svarende til disse koordinater er lig med nul: ; $Q\,'_{_{i}}\,=\,0$
generaliserede ikke-potentielle kræfter svarende til andre generaliserede koordinater (sidstnævnte kaldes [19] positionelle ) afhænger ikke af cykliske koordinater :. ${\frac {\partial Q\,'_{_{k))}{\partial q_{_{i))))\,=\,0,\;\;k\,\,= \,\,1,\dots ,r$

I dette tilfælde er bevægelsesligningerne for et mekanisk system sammensat i form af Routh-ligningerne, hvor den første gruppe af generaliserede koordinater er dannet af positionelle koordinater, og den anden gruppe er dannet af cykliske. I dette tilfælde tager de sidste Routh-ligninger formen $sr$

{\frac {{\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;0\,,\qquad i\,\,= \,\,r+1,\dots ,s,

så de generaliserede impulser fra den anden gruppe viser sig at være konstante:

p_{_{i}}\;=\;\beta _{_{i}}\;=\;{\rm {const}}\,,\qquad i\,\,=\,\ ,r+1,\dots ,s.

Konstanterne kan findes ud fra startbetingelserne. Efter at have erstattet momenta i Routh-funktionen og de resterende Routh-ligninger med konstanter , er den første gruppe af Routh-ligninger fuldstændig adskilt fra resten: $\beta _{_{i))$ $p_{_{i))$ $\beta _{_{i))$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\prikker ,r.

Disse ligninger har samme form som Lagrange-ligningerne af den anden slags for et nyt mekanisk system med frihedsgrader og sådan en Lagrange-funktion : $r$ $L^{*}$

L^{*}(q_{_{1)),\dots ,q_{_{r)),\,{\dot {q_{_{1))))),\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,t)\;=\;R\,(q_{_{1}}),\dots ,q_{_{s}}),\,{\dot {q_ {_{1}}}},\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,\beta _{_{r+1}}),\dots ,\beta _{ _{s }},\,t)\,\,.

Metoden til eliminering af cykliske koordinater gør det således muligt at reducere rækkefølgen af bevægelsesligningerne fra til . Efter integration af det resulterende system kan afhængigheden af cykliske koordinater på tid opnås [15] [20] ved en simpel kvadratur: $2s$ $2r$

q_{_{i}}(t)\;=\;-\,\int \limits _{t_{_{0}}}^{t}\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,\,{\rm {d}}t\,\,+\,C_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s.

Hvis den sidste af de tre betingelser, der skal være opfyldt af cykliske koordinater, ikke er opfyldt, så taler man om pseudocykliske koordinater . I dette tilfælde fører anvendelsen af metoden til eliminering af cykliske koordinater til ligningssystemet

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\prikker ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,,\qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s;

følgelig er rækkefølgen af bevægelsesligningerne i dette tilfælde reduceret, men ikke så væsentligt - til [15] . $s+r$

Andre anvendelser

I 1884 brugte G. Helmholtz Routh-ligningerne i sin forskning inden for termodynamik [21] .

I slutningen af det XX århundrede. V. F. Zhuravlev underbyggede det hensigtsmæssige i at bruge Routh-ligningerne til at beskrive bevægelsen af mekaniske systemer med envejsbegrænsninger, når påvirkningsinteraktioner kan finde sted . I dette tilfælde giver apparatet til Routh-ligningerne dig mulighed for at skrive bevægelsesligningerne i en form, der ikke indeholder singulariteter som deltafunktioner [22] .

Noter

↑ Petkevich, 1981 , s. 358-359.
↑ Golubev, 2000 , s. 564.
↑ Markeev, 1990 , s. 249.
↑ 1 2 Markeev, 1990 , s. 240.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 130.
↑ Golubev, 2000 , s. 565.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 348-349.
↑ Routh, bind I, 1983 , s. 361.
↑ 1 2 Kilchevsky, 1977 , s. 349.
↑ Golubev, 2000 , s. 565-566.
↑ I litteraturen er der andre muligheder for at skrive Routh-ligningerne: de ændrer enten rollerne for koordinaterne for den første og anden gruppe eller ændrer tegnet for Routh-funktionen (vi fulgte Routh, da vi valgte tegnet for "ændret" Lagrange funktion").
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 127.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 349-350.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 351.
↑ 1 2 3 4 Zhuravlev, 2001 , s. 128.
↑ Helmholtz, H. von Principien der Statik monocyklischer Systeme // Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1884, 97 . - S. 111-140.
↑ Lanczos K. Mekanikkens variationsprincipper. — M .: Mir, 1965. — 408 s. - S. 151.
↑ Markeev, 1990 , s. 276.
↑ Markeev, 1990 , s. 351.
↑ Kilchevsky, 1977 , s. 350.
↑ Petkevich, 1981 , s. 359.
↑ Zhuravlev, Fufaev, 1993 , s. 88-89.

Litteratur

Golubev Yu. F. Grundlæggende om teoretisk mekanik. 2. udg. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 2000. - 719 s. — ISBN 5-211-04244-1 .
Zhuravlev VF Grundlæggende om teoretisk mekanik. 2. udg. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 .
Zhuravlev V. F. , Fufaev N. A. Mekanik af systemer med ikke-tilbageholdende begrænsninger. — M .: Nauka, 1993. — 240 s. — ISBN 5-02-006784-9 .
Kilchevsky N.A. Kursus i teoretisk mekanik. T. II. — M .: Nauka, 1977. — 544 s.
Markeev A.P. Teoretisk mekanik. — M .: Nauka, 1990. — 416 s. — ISBN 5-02-014016-3 .
Petkevich VV Teoretisk mekanik. — M .: Nauka, 1981. — 496 s.
Raus, E. J. Dynamik af et system af stive legemer. T. I. - M . : Nauka, 1983. - 464 s.
Targ S. M. Routh-ligning // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .