Ligning af femte grad

En ligning af femte grad kaldes en ligning af formen: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Vietas sætning for femtegradsligninger

Rødderne af femtegradsligningen er relateret til koefficienterne som følger: ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5))$ $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Løsning

Der er ingen nøjagtig formel til løsning af ligningen for den femte grad. Hvis , så ser ligningen sådan ud: $a=1,f=0$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , hvor vi tager det ud af parentes (se. Sammenfatningsligning ) $x$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , hvor en af rødderne er lig nul .

Fjerdegradsligning i parentes .

Hvis , ligningen er biquadratisk . En af rødderne er lig nul, resten af rødderne søges efter formlen $b=d=0$

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Hvis , ligningen i parentes er $b=e=0$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , hvor vi tager beslagene ud:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , hvor en af rødderne er nul, leder vi efter de tre andre rødder ved hjælp af Cardano-formlen .

Eksempel

Løs ligningen

$x^{5}+5x=0$ .

Løsning. Lad os tage det ud af parentes: $x$

$x(x^{4}+5)=0$ .

Lad os overveje det: $x^{4}+5$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\sqrt {2}}}i)=0$ .

Ligningen har fem rødder:

$x_{1}=0$ , , , . _ $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Links

Algebraiske ligninger
Lineær ligning Kvadratisk ligning kubisk ligning Ligning af fjerde grad Ligning af femte grad Ligning af sjette grad Ligning af syvende grad