Pell ligning

I matematik er Pell-ligningen en diofantisk ligning af formen

x^{2}-ny^{2}=1,

hvor er et naturligt tal, der ikke er et kvadrat. $n$

De enkleste egenskaber

Par er altid løsninger, kaldet trivielle . $(\pm 1,\,0)$
I lyset af symmetri er det tilstrækkeligt at finde alle løsninger med positive og . $x$ $y$
Hvis er et perfekt kvadrat , så har ligningen ingen ikke-trivielle løsninger, da venstre side indeholder forskellen mellem to perfekte kvadrater, hvilket forklarer begrænsningen på parameteren . $n$ $n$

Tilsvarende formuleringer og sammenhæng med feltteori

Et par er en løsning på Pells ligning, hvis og kun hvis normen for tallet i feltudvidelsen er lig med én: $(x, y)$ $x+y{\sqrt {n}}$ $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$ $\mathbb {Q}$

N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(xy{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2 }.

Navnlig svarer ringens identitet til løsningen . Derfor, og også på grund af normens multiplikativitet , kan løsninger både "multipliceres" og "deles": løsninger og kan forbindes med løsninger ${\mathbb {Z}}[{\sqrt {n}}]$ $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1} x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

Ydermere kan eksistensen af ikke-trivielle løsninger således udledes af Dirichlets enhedssætning (hvilket i dette tilfælde angiver, at rækken af gruppen af enheder i ringen af heltal af en forlængelse er 1). $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$

Forbindelse med fortsatte brøker

Det er let at se, at for store og , som er løsninger af Pell-ligningen, skal forholdet være tæt på . Det viser sig, at et stærkere udsagn også er sandt: en sådan brøk skal være en konvergent for , og følgende kriterium gælder : $x$ $y$ $x/y$ ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {n}}$

Tælleren og nævneren for konvergenten for er en løsning på Pells ligning, hvis og kun hvis antallet af denne konvergent er ulige og kan sammenlignes med modulo , hvor er perioden for den fortsatte brøk for . ${\sqrt {n}}$ $-en$ $P$ $P$ ${\sqrt {n}}$

Historie

Den første omtale af en sådan ligning blev fundet i værker af matematikere fra det antikke Grækenland og det antikke Indien. En generel metode til at løse en ligning - den såkaldte "cykliske metode" - er til stede i den indiske matematiker Brahmaguptas værker fra det 7. århundrede , dog uden bevis for, at denne metode altid fører til en løsning. Generelt blev problemet formuleret af den franske matematiker Pierre Fermat , derfor kaldes denne ligning i Frankrig " Fermats ligning ". Det moderne navn på ligningen opstod takket være Leonard Euler , som fejlagtigt tilskrev John Pell deres forfatterskab .

Se også

Matiyasevichs teorem
Hilberts tiende problem
Chakravala -metoden er en metode til at finde den mindste ikke-trivielle løsning.
kæde skud

Litteratur

Bugaenko V. O. Pells ligninger . - M .: MTSNMO , 2001. - ISBN 5-900916-96-0 .
Bukhshtab A. A. Talteori. — M .: Uchpedgiz , 1960.
Van der Waerden . Pells ligning i grækernes og indianernes matematik // Uspekhi Mat. - 1976. - T. 31 , no. 5(191) . - S. 57-70 .
Senderov V., Spivak A. Pells ligninger (del I) // Kvant . - 2002. - Nr. 3 . - S. 2-9 .
Spivak A. Pells ligninger (del II) // Kvant . - 2002. - Nr. 4 . - S. 5-11 .
Spivak A. Pells ligninger (del III) // Kvant . - 2002. - Nr. 6 . - S. 10-15 .