Gassmann ligning

Gassmann- ligningerne er ligninger, der relaterer de elastiske parametre for et porøst medium mættet med en væske eller gas. De bruges til at evaluere de elastiske egenskaber af klipper (udbredelseshastigheden af elastiske bølger) i geofysiske undersøgelser af jordskorpen. Opnået i tilnærmelsen af den lineære teori om elasticitet , hvor et homogent isotropt materiale er karakteriseret ved tre uafhængige parametre (eller mængder afledt af dem), for eksempel: modul for bulk kompression , forskydningsmodul og tæthed . $K$ $G$ $\rho$

Elastiske egenskaber for et porøst medium

Den porøse mediemodel, der anvendes i Gassmann-ligningerne, antager, at materialet består af faste og flydende (gasformige) faser. Den faste fase danner en stiv ramme (skelet) karakteriseret ved dens makroskopiske elasticitetsmoduler. Den flydende (gasformige) fase fylder det tomme rum fuldstændigt. I forhold til sedimentære bjergarters fysik er den faste fase repræsenteret af krystaller eller korn af klippedannende mineraler, og den flydende fase er repræsenteret af væsker indeholdt i klippens porøse rum. Det antages, at tomrummet er fordelt ensartet inden for et sådant medium, og dets egenskaber er uafhængige af retning ( isotrop ). Hovedkarakteristikken for hulrummet er porøsitet - forholdet mellem volumen af hulrum og volumen af hele prøven: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

I lighed med metoden med "effektive" medier , når der udledes Gassmann-ligningerne, vælges et sådant homogent isotropt materiale, at under en påført belastning "i gennemsnit" opfører sig på samme måde som det mikroinhomogene porøse medium, der undersøges. Således er det tofasede system, der betragtes i Gassmann-modellen, karakteriseret ved følgende parametre:

effektive elasticitetsmoduler af det mættede materiale: ; $K,G,\rho$
porøsitet: ; $\phi$
elasticitetsmoduler af den faste fase (mineralstof), der udgør skelettet: ; ${\displaystyle K_{m},G_{m},\rho _{m))$
flydende elasticitetsmoduler: ; $K_{f},\rho _{f}$
effektive elasticitetsmoduler af klippestrukturen (umættet): ; ${\displaystyle K_{tør},G_{tør))$

Sidstnævnte afhænger både af mineralstoffets egenskaber og af mange andre faktorer (porerummets geometri, arten af kornkontakter, effektivt tryk osv.) og kan som regel ikke beregnes eksplicit. Gassmann-ligningssystemet forbinder de anførte egenskaber med hinanden, hvilket gør det muligt at udtrykke nogle parametre i form af andre, når man løser forskellige anvendte problemer (for eksempel problemet med væskeudskiftning ). En af de antagelser, der anvendes i denne model, er antagelsen om, at forskydningsmodulet for et tofaset medium er uafhængigt af egenskaberne af den porefyldende væske. Derfor (dog ). Mediets massefylde er et vægtet gennemsnit mellem densiteten af den faste fase og densiteten af væsken. Således ligger hovedbetydningen af Gassmann-ligningerne i udtrykket for modulus for all-round kompression af porøse mættede medier. I sin mest generelle form har dette udtryk følgende form: $G$ ${\displaystyle G=G_{tør))$ ${\displaystyle G_{tør}\neq G_{m))$

$F(K,K_{m},K_{tør},K_{f},\phi )=0;$

Enhver af de fem parametre, der indgår i denne ligning som et argument, kan udtrykkes i form af de andre fire.

Grundlæggende notation

For at beregne de effektive elasticitetsmoduler af et mættet materiale, bruges den eksplicitte form af Gassmann-ligningerne:

K=K_{tør}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{dry)){K_{m))}\right)^{2)){{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{tør)){K_{m}^{2))))};

G=G_{tør};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Disse udtryk gør det muligt at estimere graden af indflydelse af fyldvæskens elastiske parametre på bjergartens egenskaber. Baseret på dem kan andre elastiske egenskaber af et porøst mættet medium beregnes. For eksempel:

langsgående bølgehastighed :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

forskydningsbølgehastighed : _

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{tør}}{\rho }}};

Det skal bemærkes, at på trods af det faktum, at væskens egenskaber ikke påvirker bjergartens forskydningsmodul, ændres forskydningsbølgehastigheden med ændringen i væsketype på grund af densitetens indflydelse.

Elastikmoduler af det "tørre" skelet

For at beregne de elastiske egenskaber af et mættet porøst materiale ved hjælp af den eksplicitte form af Gassmann-ligningen, er det nødvendigt at indstille parametrene og . Til dette bruges normalt empiriske sammenhænge. Den generaliserede model for den kritiske porøsitet af Nur (A.Nur), som er i god overensstemmelse med eksperimenter og bekræftet af resultaterne af numerisk simulering [1] , har fundet bred anvendelse : ${\displaystyle K_{tør))$ ${\displaystyle G_{tør))$

K_{dry}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{a},\ \\phi <\phi _{ cr}

G_{dry}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\ \\phi <\phi _{ cr}

Her er den kritiske porøsitet, og og er kontrolkoefficienterne kalibreret mod måleresultaterne. ${\displaystyle \phi _{cr))$ $-en$ $b$

Den fysiske betydning af kritisk porøsitet er det relative volumen af hulrum, over hvilke materialet mister stivhed (f.eks. overgangspunktet fra sandsten til sand eller fra mættet sten til suspension). For en porøsitetsværdi over den kritiske værdi, . I dette tilfælde bliver Gassmann-ligningen til Wood-ligningen . $K_{tør}=G_{tør}=0$

Værdierne af parametrene og afhænger af det tomme rums geometri, arten af kontakten og formen af kornene og andre egenskaber ved stenskelettet. $-en$ $b$

Multikomponent sammensætning af den faste fase og væske

Som regel omfatter sammensætningen af den faste fase af ægte klipper flere klippedannende mineraler. I dette tilfælde anvendes forskellige metoder til gennemsnitsberegning til at vurdere mineralstoffets elasticitetsmoduler . Som regel giver den selvkonsistente feltmetode gode resultater . Hill-gennemsnitsmetoden kan også bruges . $K_{m}$ $G_{m}$

Woods ligning kan bruges til at estimere modulet for all-round kompression af en væske med dens multikomponentsammensætning . Det skal dog huskes, at denne ligning kun gælder for ikke-blandbare komponenter. For eksempel at vurdere egenskaberne af reservoirolie, der indeholder en vis mængde naturgas i opløst tilstand, kan det give store fejl.

Grundlæggende antagelser. Omfang

Gassmann-ligningerne kan bruges både til at bestemme de statiske elasticitetsmoduler og i det dynamiske tilfælde (for eksempel til at estimere udbredelseshastighederne af seismiske bølger i bjergarter). Men når man udleder ligningerne, anvendes følgende antagelser, som begrænser rækkevidden af denne teori:

Mineralskelettet og væsken bevæger sig sammen (ingen glidning). Ændringen i bjergartens elementære volumen er summen af ændringen i væskens volumen og volumenet af den faste fase;
Væskeegenskaber påvirker ikke klippens forskydningsmodul;
Spændingen i bjergarten er summen af spændingen i skelettet og trykket i væsken (poretrykket);

Den første antagelse pålægger begrænsninger på frekvensområdet for signaler, når man bruger Gassmann-teorien i dynamiske problemer. Ved en tilstrækkelig kort bølgelængde vil væskefasen "glide" i forhold til stenskelettet. Som et resultat vil frekvensspredning af bølgehastigheden og energispredning blive observeret. Disse effekter betragtes inden for den mere generelle Biot-Nikolaevskii-teori , hvorfra Gassmanns ligninger kan udledes som et specialtilfælde.

Frekvensområdet, inden for hvilket Gassmann-teorien beskriver den eksperimentelle databrønd, estimeres normalt til 10 % af Biot-resonansfrekvensen :

f_{max}=0.1f_{Bio}=0.1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ er væskens dynamiske viskositet ,

$\kappa$ - materialets permeabilitetskoefficient ( stenens absolutte permeabilitet ).

Ved højere frekvenssvingninger i et porøst og permeabelt mættet medium opstår der udover langsgående og tværgående bølger en langsgående bølge af den anden slags .

For de fleste rigtige sten er Biot-resonansfrekvensen væsentligt højere end 20-30 kHz. Dette gør det muligt at bruge Gassmann-ligningerne i processen med at fortolke seismiske og soniske data .

Tabellen nedenfor viser et eksempel på estimering af grænsefrekvensen for anvendeligheden af Gassmann-ligningerne for nogle typiske værdier af porøsitet og permeabilitet af ægte vandmættede bjergarter.

Eksempel på estimeret afskæringsfrekvens (kHz): $f_{{maks}}$
	porøsitet
permeabilitet	ti%	tyve%	tredive%	40 %
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	atten	27	35

Andre former for skrivning

I en række anvendte problemer er det praktisk at bruge andre repræsentationer af Gassmann-ligningerne, som kan udledes af grundformen.

1. Implicit form

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{tør}}{K_{m}-K_{tør}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f)))));

2. Reuss form

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{tør}}{K_{m}-K_{tør}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi}{K_{m}}};

3. Form Biot

K=K_{dry}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi}{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{tør}}{K_{m}}},

Værdien af Biot-koefficienten bestemmes af det tomme rums egenskaber. Det kan påvises, at denne parameter karakteriserer forholdet mellem ændringen i porevolumen og ændringen i bjergartens samlede volumen under deformation. $B$

Ulemper og begrænsninger

Den største ulempe ved Gassmann-ligningerne i praksis er behovet for at specificere skelettets elastiske egenskaber , som afhænger af mange faktorer og er svære at evaluere. $(K_{tør},G_{tør})$

Det er også vigtigt at tage højde for begrænsningen af frekvenssammensætningen - ved en frekvens af elastiske oscillationer større end Biot-frekvensen beskriver Gassmann-ligningen dårligt de elastiske egenskaber af tofasede medier på grund af forsømmelse af væskebevægelse i forhold til fast fase.

Væskeudskiftningsproblem

Ved hjælp af ovenstående ligninger er det muligt at estimere, hvordan egenskaberne af en mættet bjergart med kendte elastiske egenskaber vil ændre sig, hvis typen af mættende væske ændres. På samme tid, hvis væskernes elasticitetsmoduler såvel som klippens mineralkomponent er kendt, er det ikke nødvendigt at indstille klippeskelettets elastiske egenskaber for at løse problemet. Denne opgave er af stor praktisk betydning ved vurdering af graden af olie- eller gasforekomsters indflydelse på resultaterne af geofysiske undersøgelser.

Se også

Litteratur

Hvid J.E. Excitation og udbredelse af seismiske bølger = Underjordisk lyd / editor trans. N.N. Boble. — M .: Nedra, 1986. — 261 s.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - Nr. 96 . - S. 1-23 . (tysk) (der er en engelsk oversættelse )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (engelsk)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J., og Galmundi, D. Kritisk porøsitet: nøglen til at relatere fysiske egenskaber til porøsitet i klipper, Proc. 65th Ann Int. møde soc. Expl. Geophys.. - 1995. - Nr. 878 . (Engelsk)
↑ Roberts, AP, og Garboczi, EJ Elastiske egenskaber af modelporøs keramik // J. Amer. keramisk samfund. - 2000. - Nr. 83 . - S. 3041-3048 . (Engelsk)