Darcys lov

Darcys lov ( Henri Darcy , 1856) er loven om filtrering af væsker og gasser i et porøst medium . Historisk set blev loven opnået eksperimentelt af A. Darcy [1] , men kan opnås ved at tage et gennemsnit af Navier-Stokes-ligningerne , der beskriver flowet på en poreskala [2] (på nuværende tidspunkt er der bevis for porøse medier med en periodisk [ 3] [4] og tilfældig [5] mikrostruktur). Udtrykker væskefiltreringshastighedens afhængighed af trykgradienten :

{\vec {u}}=-k{\vec {I)),

hvor: - filtreringshastighed, - filtreringskoefficient, - trykgradient [ 6] . $\vec u$ $k$ ${\vec I}$

I teoretisk hydrodynamik

I fundamental kontinuummekanik, når man studerer strømmene af væsker og gasser i et porøst medium, er differentialformen af Darcys lov meget brugt (her givet til bevægelse i et gravitationsfelt ):

{\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),

hvor er det ydre tryk, er væskedensiteten, er dens dynamiske viskositet , er gravitationsaccelerationen , er den lodrette koordinat, er permeabilitetskoefficienten. $P$ $\rho$ $\eta$ $g$ $z$ $K$

Magtbalanceligningen

Darcys lov kan repræsenteres som en kraftbalanceligning [7] :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

hvor er feltet af eksterne kræfter, er den dynamiske viskositet af en væske eller gas, er permeabilitetskoefficienten . Permeabilitetskoefficienten karakteriserer et porøst mediums evne til at passere væske. $\vec f$ $\eta$ $K = \eta k / \rho g$

Det komplette system af filtreringsligninger for en inkompressibel væske inkluderer også inkompressibilitetstilstanden :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

\operatørnavn {div} {\vec {u}}=0.

Den nødvendige grænsebetingelse for denne model på faste overflader er kun betingelsen om uigennemtrængelighed.

Potentiel lovform

Ved en konstant permeabilitetskoefficient har filtreringshastighedsfeltet et skalarpotentiale , som gør det muligt at omskrive systemet af filtreringsligninger i form af Laplace-ligningen [6] :

{\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,

hvor er trykket. $h$

Laplace-ligningen med grænsebetingelsen følger af inkompressibilitetsbetingelsen:

\Delta \Phi =0,

\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n))\right|_{S}=\left.\left({\vec {n))\cdot \nabla \Phi \right )\right|_{S}=0,

hvor er normalvektoren til overfladen. Grænsebetingelsen på faste overflader er betingelsen om, at normalkomponenten af gradienten er lig nul . ${\vec {n}}$ $\Phi$

I princippet kan feltet af kropskræfter og trykgradienten kombineres i alle ligningerne ovenfor, hvilket reducerer til en simpel trykrenormalisering.

Anvendelsesområdet for Darcys lov

Darcys lov gælder for filtrering af væsker underlagt Newtons lov om viskøs friktion (Navier-Stokes lov). Til filtrering af ikke-newtonske væsker (såsom nogle olier ) kan forholdet mellem trykgradient og filtreringshastighed overhovedet være ikke-lineært eller ikke-algebraisk (såsom differential).

For newtonske væsker er omfanget af Darcys lov begrænset til lave filtreringshastigheder ( Reynolds tal , beregnet ud fra den karakteristiske porestørrelse, er mindre end eller i størrelsesordenen enhed). Ved højere hastigheder er forholdet mellem trykgradienten og filtreringshastigheden ikke-lineær (en god overensstemmelse med de eksperimentelle data er givet ved en kvadratisk afhængighed - Forchheimers filtreringslov).

Måleenheder

SI- enheden for permeabilitet er kvadratmeteren . I praktiske applikationer bruges darcy ofte som en enhed (1 D ≈ 10 -12 m²).

Noter

↑ Darcy Henry. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les question de distribution d'eau... . - Paris: V. Dalmont, 1856. - VII + 647 s.
↑ Leontiev N.E. Grundlæggende om filtreringsteori . - M . : Forlag for CPI ved Fakultetet for Mekanik og Matematik ved Moscow State University, 2009. - S. 24-29. — 88 s.
↑ Bakhvalov N.S. , Panasenko G.P. Midling af processer i periodiske medier. — M .: Nauka, 1984. — S. 164–169. — 352 s.
↑ Sanchez-Palencia E. Inhomogene medier og teorien om oscillationer / Pre. fra engelsk. udg. O.A. Oleinik. - M . : Mir, 1984. - S. 176. - 472 s.
↑ Belyaev A.Yu. Gennemsnit i problemer i filtreringsteori . — M .: Nauka, 2004. — S. 76–127. - 200 sek.
↑ 1 2 Polubarinova-Kochina P. Ya. Teori om grundvandsbevægelser. Arkivkopi dateret 10. marts 2016 på Wayback Machine - M .: Nauka, 1977. - 664 s.
↑ Basniev K. S., Kochina N. I., Maksimov M. V. Underjordisk hydromekanik: en lærebog for universiteter. - M.: Nedra, 1993. - 416 s.

Se også

Darcy er en måleenhed for permeabilitet .
Porøsitet
Bernoullis lov