Wiener-Hopf ligning

Wiener-Hopf- ligningen er en lineær integralligning med en differenskerne på den positive halvakse :

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

hvor er den ønskede funktion ; , er kendte funktioner, er parametre. Hvornår kaldes Wiener-Hopf-ligningen af 1. slags, hvornår kaldes Wiener-Hopf-ligningen af 2. art. Det blev opnået af Wiener og Hopf, da de løste problemet med strålingsligevægt inde i stjerner. Bruges også i kybernetik , når man løser problemer med at udtrække og filtrere et nyttigt signal fra dets blanding med støj. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ $\lambda ,\beta$ $\beta=0$ $\beta=1$

Løsningsmetode

For løsningen, den såkaldte. envejsfunktioner og lig med og for x>0 og lig med 0 for x<0 og en funktion lig med 0 for x>0. Ved hjælp af envejsfunktioner skrives ligningen på formen :. Ved hjælp af ensidige funktioner udvides ligningens definitionsdomæne til den negative halvakse. Den direkte Fourier-transformation anvendes derefter . For billedligningen løses Riemann-grænseværdiproblemet, dvs. funktioner og er defineret . Løsningen af integralligningen er den inverse Fourier-transformation af funktionen :. $\varphi _{+}(x)$ $f_{+}(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi _{-}(x)$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ $\varphi ^{-}$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Litteratur

Fysisk encyklopædi. T.1. Chefredaktør A.M. Prokhorov. M. Sov.-leksikon. 1988.
N. Wiener "Jeg er matematiker" M.: Nauka, 1964, V 48 51 (09) UDC 510 (092), 353 sider med illustrationer, kap. 6 “Kreative succeser og glæder. 1927-1931", s. 120-143;
Samoilenko V. I., Puzyrev V. A., Grubrin I. V. "Teknisk kybernetik", lærebog. godtgørelse, M., MAI forlag , 1994, 280 sider med illustrationer, ISBN 5-7035-0489-9 , LBC 14.2.5 C 17 UDC 621.396.6, kap. 3 "Syntese af lineære systemer. Optimale systemer”, s. 3.3 ”Optimering af systemer efter ISCED-kriteriet. Wiener-Hopf-ligninger.», s. 60-63;
A. V. Manzhirov, A. D. Polyanin "Håndbog for integralligninger. Solution Methods”, M., Factorial Press, 2000, 384 sider, ISBN 5-88688-046-1 , LBC 517.2 M 23 UDC 517.9, kap. 5 "Metoder til løsning af integralligninger", s. 5.9-1 "Wiener-Hopf-ligning af anden slags".
Myshkis A.D. "Matematik for tekniske universiteter", spec. kurser, 2. udg., St. Petersburg, Lan forlag, 2002, 640 s., ISBN 5-8114-0395-X , kap. 7 "Integralligninger", punkt 4 "Nogle specielle ligningsklasser", punkt 8 "Fredholms ligning med differenskerne på halvaksen".
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Equations in convolutions and projection methods for their solution, M., forlag "Nauka", 1971, 352 s.