3d kugle

En tredimensionel kugle ( tredimensionel hypersfære , nogle gange 3-sfære ) er en kugle i firedimensionelt rum . Består af et sæt punkter lige langt fra et fast centralt punkt i det firedimensionale euklidiske rum . Ligesom en todimensionel kugle, der danner grænsen for en kugle i tre dimensioner, har en 3-kugle tre dimensioner og er grænsen for en firedimensionel kugle.

Ligning

I kartesiske koordinater kan en tredimensional kugle med radius gives ved ligningen $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

I betragtning af det komplekse rum som reelt , kan kuglens ligning ses som $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\right\}.

Tilsvarende i quaternion-rummet : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Da den er en tredimensionel manifold, kan en tredimensionel kugle defineres parametrisk ved hjælp af tre koordinater. Et eksempel er hypersfæriske koordinater:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Egenskaber

En tredimensionel kugle er grænsen for en firedimensionel kugle. $S^{3}$

En tredimensionel kugle er en kompakt forbundet tredimensionel manifold . En tredimensionel kugle er simpelthen forbundet , det vil sige, at enhver lukket kurve på den kontinuerligt kan trækkes sammen til et punkt.

En tredimensionel sfære er homøomorf til en etpunktskomprimering af et tredimensionelt virkeligt rum . $\mathbb {R} ^{3}$

Gruppestruktur

Da den er et sæt af enhedsquaternioner, arver den tredimensionelle sfære en gruppestruktur.

Derfor er sfæren en Lie-gruppe . Kun blandt dimensionelle kugler og har denne egenskab . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

Ved at bruge matrixrepræsentationen af kvaternioner kan man definere en grupperepræsentation ved hjælp af Pauli-matricer : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Derfor er gruppen isomorf til matrix Lie-gruppen . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Handlingen af gruppen U(1) og Hopf-fibrationen

Hvis du definerer en gruppehandling : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

så er kredsløbsrummet homøomorft i forhold til den todimensionelle sfære . I dette tilfælde opstår en bundtstruktur på kuglen med en base og lag, der er homøomorfe , det vil sige cirkler . Dette bundt kaldes Hopf-bundtet . [en] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

Hopf-bundtet er et eksempel på et ikke-trivielt hovedbundt. I koordinater er det givet af formlen

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

Punktet ( z 1 , z 2 ) af kuglen er afbildet til punktet [ z 1 : z 2 ] af den komplekse projektive linje CP 1 , som er diffeomorf i forhold til den todimensionelle kugle . $S^{3}$ $S^{2}$