Trihedral vinkel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. oktober 2020; checks kræver 9 redigeringer .

En trihedrisk vinkel er en del af rummet afgrænset af tre flade vinkler med et fælles toppunkt og parvise fælles sider, der ikke ligger i samme plan. Det fælles toppunkt O for disse vinkler kaldes toppunktet for den triedriske vinkel. Siderne af hjørnerne kaldes kanter, de flade hjørner ved toppunktet af en trihedrisk vinkel kaldes dens flader. Hvert af de tre par af flader af en trihedrisk vinkel danner en dihedral vinkel (afgrænset af en tredje flade, der ikke er inkluderet i parret; om nødvendigt fjernes denne begrænsning naturligt, hvilket resulterer i de nødvendige halvplaner, der danner hele dihedralen vinkel uden begrænsning). Hvis vi placerer toppunktet for en trihedrisk vinkel i midten af en kugle, dannes en kugleformet trekant afgrænset af den på dens overflade , hvis sider er lig med planvinklerne for den trihedriske vinkel, og vinklerne er lig med dens dihedrale vinkler.

Trekantuligheden for en trihedrisk vinkel

Hver flad vinkel i en trihedrisk vinkel er mindre end summen af dens to andre flade vinkler. [en]

Summen af planvinklerne for en trihedrisk vinkel

Summen af de plane vinkler af en trihedrisk vinkel er mindre end 360 grader.

Bevis

Lad OABC være en given trihedral vinkel (se fig. 1). Overvej en trihedrisk vinkel med top A dannet af flader ABO, ACO og vinkel BAC. Lad os skrive uligheden:

\vinkel BAC<\vinkel BAO+\vinkel CAO

Tilsvarende for de resterende trihedriske vinkler med toppunkter B og C:

\angle ABC<\angle ABO+\angle CBO

\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO

Tilføjer vi disse uligheder og tager i betragtning, at summen af vinklerne i trekanten ABC er 180°, får vi

180<\vinkel BAO+\vinkel CAO+\vinkel ABO+\vinkel CBO+\vinkel BCO+\vinkel ACO=180-\vinkel AOB+180-\vinkel BOC+180-\vinkel AOC

Følgelig : $\vinkel AOB+\vinkel BOC+\vinkel AOC<360$

Cosinussætningen for en trihedrisk vinkel

Lad en trihedrisk vinkel angives (se fig. 2), α, β, γ - dens flade vinkler, A, B, C - dihedriske vinkler sammensat af vinklerne β og γ, α og γ, α og β.

Den første cosinussætning for en trihedrisk vinkel:

\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta}\sin {\gamma }\cos {A}

Den anden cosinussætning for en trihedrisk vinkel:

\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }

Bevis

Lad OABC være en given trihedrisk vinkel. Lad os slippe perpendikulerne fra det indre punkt af den trihedriske vinkel til dens flader og få en ny polær trihedrisk vinkel (dobbelt til den givne). De flade vinkler af en trihedrisk vinkel komplementerer de dihedriske vinkler i en anden, og de dihedriske vinkler i en vinkel komplementerer de flade vinkler i en anden op til 180 grader. Det vil sige, at den polære vinkels plane vinkler er henholdsvis ens: 180 - A; 180 - B; 180 - C og dihedral - 180 - a; 180-p; 180-y

Lad os skrive den første cosinussætning til den

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+

+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

og efter forenklinger får vi:

\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

Sinussætningen for en triedrisk vinkel

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ , hvor α, β, γ er planvinklerne for den triedriske vinkel; A, B, C - modsatte dihedriske vinkler (se fig. 2).

Se også

Solid vinkel

Noter

↑ Geometri ifølge Kiselyov Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , §324 .