Et sporl er en indlejring af en graf i et plan på en sådan måde, at hver kant er en Jordan-kurve, og hvert par kanter forekommer én gang. Kanter kan enten mødes ved et fælles endepunkt eller, hvis de ikke har nogen fælles endepunkter, ved indvendige punkter. I sidstnævnte tilfælde skal krydset være tværgående [1] .
Lineær spor - et spor tegnet med lige linjestykker. Ethvert lineært spor har ikke flere kanter end toppunkter, som opdaget af Pal Erdős . Erdős bemærkede, at hvis et toppunkt v er forbundet med tre eller flere kanter vw , vx og vy i et lineært spor, så ligger mindst en af disse kanter på linjen, der adskiller de to andre kanter. Uden tab af generalitet antager vi, at vw er en sådan kant , og punkterne x og y ligger på modsatte sider af de lukkede halvrum afgrænset af linjen vw . Så skal toppunktet w have grad et, da ingen anden kant end vw kan have punkter til fælles med både vx og vy . Fjernelse af w fra sporet giver et mindre spor uden at ændre forskellen mellem antallet af kanter og toppunkter. På den anden side, hvis et toppunkt højst har to naboer, såoverstiger antallet af kanter ved håndtrykslemmaet ikke antallet af toppunkter [2] . Baseret på Erdős' bevis kan det konkluderes, at ethvert lineært spor er en pseudo- skov . Enhver cyklus af ulige længde kan konverteres til en lineær sporle, men dette er ikke muligt for cykler af lige længde, fordi hvis du vælger en vilkårlig kant, så skal andre toppunkter ligge skiftevis på modsatte sider af denne kant.
Micha Perles leverede endnu et simpelt bevis på, at et lineært spor højst har n kanter, baseret på det faktum, at i et lineært spor har enhver kant et endepunkt, hvor alle kanter ligger inden for den vinkel, højst 180°, for hvilken den givne kant er initialen (når den ses med uret). Hvis dette ikke er tilfældet, skal der være to kanter, der falder ind i modsatte endespidser af kanten og ligger på modsatte sider af den linje, som kanten ligger på. Disse kanter skærer ikke hinanden, men dette er kun muligt for kanter, der støder op til et toppunkt [3] .
Erdős bemærkede også, at det sæt af punkter, hvor diameteren af spidssættet nås, skal være et lineært spor - ingen to diametre kan ikke have punkter til fælles, da to punkter mellem de fire ender af disse diametre skal ligge i en afstand større end diameteren. Af denne grund kan ethvert sæt af n punkter i planet maksimalt have n diametrale par, hvilket besvarer spørgsmålet stillet i 1934 af Heinz Hopf og Erica Panwitz [4] . Andrew Vashoni formodede grænser for antallet af diametrale par i højere dimensioner, hvilket generaliserer problemet [2] .
I beregningsgeometri kan en roterende skydelære bruges til at opnå et lineært spor fra ethvert sæt punkter i en konveks position ved at forbinde par af punkter understøttet af parallelle linjer, der tangerer punkternes konvekse skrog . Denne graf indeholder et spor af diametrale punkter som en undergraf [5] . Opregningen af lineære spor kan bruges til at løse problemet med den største polygon af enhedsdiameter , det vil sige problemet med at finde en n - gon af maksimalt areal i forhold til dens diameter [6] .
John Conway formodede, at antallet af kanter i ethvert spor ikke overstiger antallet af hjørner. Conway brugte selv udtrykkene stier (stier) og pletter (pletter) (i stedet for henholdsvis kanter og hjørner ).
Tilsvarende kan formodningen omformuleres, da enhver trackle er en pseudo- skov . Mere specifikt, hvis trackle-formodningen er korrekt, kan ejerskabet af reklamerne udtrykkes nøjagtigt af Woodalls resultat - disse er pseudoskove, der ikke har cyklusser af længde 4 og har mindst én ulige cyklus [1] [7] .
Det er blevet bevist, at enhver anden cyklisk graf end C 4 har en sporeindlejring, som viser, at formodningen er streng i den forstand, at der er spor, hvor antallet af hjørner er lig med antallet af kanter. Det andet ekstreme tilfælde, hvor antallet af hjørner er det dobbelte af antallet af kanter, er også muligt.
Det er kendt, at formodningen er sand for sporlinjer tegnet på en sådan måde, at enhver kant er en x -monotone kurve, der højst skærer en lodret linje [3] .
Lovas, Pach og Szegedy [8] beviste, at enhver todelt sporle er en plan graf , selvom den ikke er tegnet i plan form [1] . Som følge heraf viste de, at enhver trekle-repræsenterbar graf med n toppunkter højst har 2n − 3 kanter. Siden da er grænsen blevet forbedret to gange. Den blev først forbedret til 3( n − 1)/2 [9] , og den sidst kendte grænse er omkring 1,428 n [10] . Desuden giver den anvendte metode til at opnå resultatet, for enhver ε > 0, en endelig algoritme, der enten forbedrer bundet til (1 + ε) n eller modbeviser formodningen.
Det er kendt, at hvis formodningen er falsk, ville det mindste modeksempel være et par lige cyklusser med et fælles toppunkt [7] . For at bevise formodningen er det således tilstrækkeligt at bevise, at grafer af denne type ikke kan tegnes som sporlinjer.