Identitet af otte firkanter

Den otte kvadratiske identitet er følgende identitet , der udtrykker produktet af summen af otte kvadrater som en sum af otte kvadrater:

${\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5} ^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{ 2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{ 8}^{2})=\\=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{ 5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\\+(a_{2}b_{1 }+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8 }b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\\+(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2} +\\+(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}- a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\\+(a_{5}b_{1}-a_{6}b_ {2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_ {4}b_{8})^{2}+\\+(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{ 4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\\+(a_{ 7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6 }+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\\+(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6 }b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8} )^{2}.\end{aligned}}$

Historie

Først opdaget den danske matematiker Ferdinand Degen 1818 , blev bemærkelsesværdige identitet genopdaget to gange: Graves i 1843 og Arthur Cayley i 1845 . Cayley udledte det, mens han arbejdede på en generalisering af kvaternioner , kaldet oktonioner . I algebraiske termer betyder identitet, at normen for produktet af to oktonioner er lig med produktet af deres normer :. $\|a\cdot b\|=\|a\|\cdot \|b\|$

Et lignende udsagn gælder for kvaternioner (" identitet af fire kvadrater "), komplekse tal (" identitet af Diophantus - Brahmagupta - Fibonacci ") og reelle tal. I 1898 beviste Adolf Hurwitz , at hverken for 16 ( sedenioner ) eller for et hvilket som helst antal kvadrater ud over 1, 2, 4 og 8 eksisterer en sådan identitet.

Identitet af otte firkanter

Historie

Links