Jacobi identitet
Jacobi-identiteten er en matematisk identitet for en bilineær operation på et lineært rum . Den har følgende form:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\ gange V\højrepil V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\i V\kolon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Opkaldt efter Carl Gustav Jacobi .
Forestillingen om Jacobi-identiteten er almindeligvis forbundet med Lie-algebraer .
Eksempler
Følgende operationer opfylder Jacobi-identiteten:
- Operatørkontakt
- kommutator i Lie algebra
- Løgnparentes af vektorfelter
- Poisson-parenteser af funktioner på en symplektisk manifold
- Krydsprodukt af vektorer
Betydning i Lie algebraer
Hvis multiplikationen er antikommutativ , så kan Jacobi-identiteten gives en lidt anden form ved at bruge den adjunkte repræsentation af Lie-algebraen :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
At skrive Jacobi-identiteten i formularen
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
vi opnår, at det svarer til betingelsen om opfyldelse af Leibniz-reglen for operatøren :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Således er en afledning i Lie-algebraen. Enhver sådan afledning kaldes iboende .
Jacobi-identiteten kan også gives formen
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Dette betyder, at operatoren definerer en homomorfi af en given Lie-algebra til Lie-algebraen af dens afledninger.
Graderet Jacobi-identitet
Lad være en graderet algebra og være en multiplikation i den. Vi siger, at multiplikation i opfylder den graderede Jacobi-identitet, hvis for nogen elementer
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l} ]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Eksempler
- algebra af ydre former ;
- algebra af afledninger af differentialformer ;
- algebra af tangentielt værdisatte former med multiplikation givet ved FN -parenteser eller NR -parenteser;