Sætning om universelle koefficienter

Sætningen om universelle koefficienter i algebraisk topologi etablerer en forbindelse mellem heltalshomologierne af et topologisk rum X og dets homologier med koefficienter i en vilkårlig Abeliask gruppe A . Hun hævder, at integrerede homologigrupper fuldstændigt definerer grupper , og homologi kan være både enkel og singulær - dette er et generelt resultat af homologisk algebra om kædekomplekser af frie abelske grupper . $H_{i}(X,{\mathbb {Z}})$ $H_{i}(X,A)$

Udtalelse af sætningen

Overvej tensorproduktet . Sætningen siger, at der eksisterer en injektiv homomorfi af denne gruppe ind i med en cokernel . $H_{i}(X,{\mathbb {Z}})\nogle gange A$ $H_{i}(X,A)$ ${\mbox{Tor}}(H_{{i-1}}(X,{\mathbb {Z}}),A)$

Med andre ord er der en naturlig kort nøjagtig rækkefølge

0\højrepil H_{i}(X,{\mathbb {Z}})\nogle gange A\højrepil H_{i}(X,A)\højrepil {\mbox{Tor}}(H_{{i-1}} (X,{\mathbb {Z}}),A)\højrepil 0.

Desuden splittes denne sekvens, men opdelingen er ikke naturlig.

Sætningen om universelle koefficienter for kohomologi

Der er en lignende kohomologisætning , der involverer funktoren Ext , som siger, at der er en kort nøjagtig sekvens

0\højrepil {\mbox{Ext}}(H_{{i-1}}(X,{\mathbb {Z}}),A)\højrepil H^{i}(X,A)\højrepil {\mbox {Hom}}(H_{i}(X,{\mathbb {Z}}),A)\højrepil 0.

Som i tilfældet med homologi opdeles sekvensen, dog ikke på en naturlig måde.

Litteratur

Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi. — M .: Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989