Kuglesætning (differentialgeometri)

Sfæresætningen er en generel betegnelse for sætninger, der giver tilstrækkelige betingelser for den riemannske metrik til at garantere, at en manifold er homøomorf eller diffeomorf i forhold til standardsfæren .

Formuleringer

Lade være en lukket , simpelt forbundet , n - dimensional Riemann-manifold med en vis betingelse om krumning (se bemærkninger), så er det homeomorphic / diffeomorphic til en n - dimensional sfære . $M$ $M$

Noter

Formuleringerne med homeomorphism og diffeomorphism kaldes henholdsvis topologisk sfæresætning og glat sfæresætning .

Den mest kendte krumningstilstand er den såkaldte curvature quarter-pinning, hvilket betyder, at sektionskrumningen i hver snitretning af hvert punkt ligger i . $(1,4]$
- Kvartpinningstilstanden er optimal, sætningen holder op med at være sand, hvis sektionskrumningen kan tage værdier i et lukket interval . Standard modeksemplet er et komplekst projektivt rum med en kanonisk metrik; sektionskrumningen af metrikken tager værdier mellem 1 og 4, inklusive endepunkterne. Andre modeksempler kan findes blandt rang 1 symmetriske rum . $[1,4]$
- En mere generel tilstand er pointwise quarter-pinning. Det betyder, at sektionskrumningen er positiv, og for hvert fikspunkt overstiger forholdet mellem maksimum og minimum af sektionskrumningerne i alle snitretninger ikke 4.

En anden velkendt tilstand ved krumning er krumningsoperatørens positivitet .
- En mere generel betingelse er den såkaldte 2-positivitet af krumningsoperatoren , det vil sige positiviteten af summen af de to mindste egenværdier af krumningsoperatoren.

Historie

Topologisk sætning

Den første sfæresætning blev bevist af Rauch i 1951. Han viste, at blot forbundne manifolder med sektionskrumning i intervallet [3/4,1] er homøomorfe til en kugle.

I 1960 beviste Marcel Berger og Wilhelm Klingenberg en topologisk version af sfæresætningen for et kvart-snap.

I 1988 beviste Micalef og Moore en topologisk version for lukkede manifolds med positiv kompleksificeret krumning i isotropiske retninger.
- Dette indebærer især den topologiske sfæresætning for en positiv krumningsoperator.
  - At lukkede manifolder med en positiv krumningsoperator er rationelle homologisfærer følger let af Bochners formel .
- Deres bevis bruger en todimensionel analog af Sings lemma .

Glat teorem

Klassiske metoder gjorde det muligt at bevise den glatte sfære-sætning kun for en meget stiv klemning; optimale klemninger blev opnået ved hjælp af Ricci-strømmen

I 1982 beviste Richard Hamilton den glatte sfære-sætning i det 3-dimensionelle tilfælde med positiv Ricci-krumning .
- Dette var den første anvendelse af Ricci-strømmen, resten af beviserne for den glatte sætning fulgte samme skema, men krævede seriøse tekniske forbedringer.

I 1985 brugte Gerhard Huysken Ricci-strømmen til at bevise den glatte sfære-sætning i alle dimensioner.
- Den præpositionelle krumningstilstand, han foreslog, var optimal i en vis forstand. Især ligger krumningstensoren af produktet af en cirkel og en kugle på grænsen af krumningstilstanden. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1))$

I 2008 beviste Burchard Wilking og Christoph Böhm den glatte sfære-sætning for to-positiviteten af krumningsoperatoren. Især den glatte sfære-sætning er sand under den betingelse, at krumningsoperatoren er positiv.

I 2009 beviste Simon Brende og Richard Schoen den glatte sfære-sætning med kvart-opdeling. Deres bevis gjorde betydelig brug af Wilkings og Boehms ideer.

Litteratur

Rauch, H.E., Et bidrag til differentialgeometri i det store, Ann. af matematik. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Bidrag til riemannsk geometri i det store, Ann. af matematik. 69 (1959), 654-666.
Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
Micallef, M., Moore, JD, Minimale to-sfærer og topologien af manifolder med positiv krumning på totalt isotropiske to-planer. Ann. af matematik. (2) 127 (1988), 199-227.
Huisken, G., Ricci-deformation på metrikken på en Riemann-manifold. J. Differential Geom. 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Manifolder med positive krumningsoperatorer er rumformer. Ann. af matematik. (2) 167 (2008), nr. 3, 1079-1097.
Simon Brandle og Richard Schoen. Manifolder med 1/4-klemmet krumning er rumformer // Journal of the American Mathematical Society : journal. - 2009. - Bd. 22 , nr. 1 . - S. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .