Singa's lemma

Sings lemma er et nøgleudsagn om stabiliteten af lukkede geodæter i Riemannske manifolder med positiv sektionskrumning.

Lemmaet er en direkte konsekvens af formlen for den anden variation af længderne af en en-parameter familie af kurver. Hun blev brugt af John Sing . [en]

Ordlyd

Lade være en geodætisk i en Riemann-manifold med positiv sektionskrumning og et parallelt felt af tangentvektorer på . Så forkorter en variation i retning dens længde. $\gamma \colon [0;1]\til M$ $M$ $V$ $\gamma$ $\gamma$ $V$

Mere præcist, hvis

\gamma _{\tau }(t)=\exp _{{\gamma (t)))(\tau \cdot V(t))

og angiver længden af kurven derefter og . $L(\tau)$ $\gamma _{\tau }$ $L'(0)=0$ $L''(0)<0$

Konsekvenser

Hvis en lukket geodæt, der tillader et parallelt vektorfelt, ikke er stabil, det vil sige, at dens længde kan reduceres med en vilkårlig lille deformation. I særdeleshed,
- Ligedimensionelt orienterede Riemann-manifolder med positiv sektionskrumning er simpelthen forbundet .
- Ulige dimensionelle Riemann-manifolder med positiv sektionskrumning er orienteret .
Sings lemma blev også brugt af Theodor Frankel [2] til at bevise, at hvis og er lukkede geodætiske undermanifolder i en Riemann-manifold med positiv sektionskrumning og derefter og skærer hinanden. $V$ $W$ $M$ $\dim V+\dim W\geq \dim M$ $V$ $W$

Noter

↑ Synge, John Lighton (1936), On the connectivity of spaces of positive curvature , Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) bind 7: 316–320 , DOI 10.1093/qmath/os-7.1.316
↑ Frankel, Theodore. Manifolds med positiv krumning (engelsk) // Pacific J. Math .. - 1961. - Vol. 11 . — S. 165–174 .