Hopf-Rinows sætning

Hopf-Rinow-sætningen er en sætning i differentialgeometri , bevist af Heinz Hopf og hans elev Willy Rinov . Sidst udgivet i 1931 [1] .

Ordlyd

For en stiforbundet Riemannmanifold er følgende udsagn ækvivalente: $M$

$M$ er komplet (det vil sige, den Riemannske manifold er komplet som et metrisk rum );
for hvert punkt er den eksponentielle afbildning defineret på alt (hvor er tangentrummet til ved punktet ); $p\in M$ $\exp _{p}:T_{p}\to M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $s$
hvert sæt afgrænset og lukket ind er kompakt . $M$

Enhver to punkter og i en lineært forbundet komplet Riemannmanifold kan forbindes med en geodætisk længde svarende til afstanden mellem og ; $s$ $q$ $s$ $q$
Enhver geodæt i en stiforbundet komplet Riemannmanifold kan forlænges på ubestemt tid.

Hopf-Rinow-sætningen gælder for rum med intrinsisk metrisk , ikke nødvendigvis Riemannsk (for eksempel Finsler ) [2] : hvis er et lokalt kompakt komplet metrisk rum med intrinsisk metrisk , så er enhver lukket afgrænset mængde kompakt. Især kan to punkter i rummet forbindes med en korteste vej. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $x$
- Denne påstand er blevet generaliseret til tilfældet med ikke-symmetriske metrikker. [fire]

Hopf-Rinow-sætningen er ikke sand i det uendelige-dimensionelle tilfælde [5] , såvel som i tilfældet med pseudo-riemannske manifolder [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (tysk) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , Nr. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometri kursus. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . sætning 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; oversat i Cohn-Vossen, S. E. "Om de korteste vejes eksistens." Nogle spørgsmål om differentialgeometri generelt. Moskva: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), Hopf-Rinow-sætningen er falsk i uendelige dimensioner , The Bulletin of the London Mathematical Society bind 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , vol. 103, Ren og anvendt matematik, Academic Press, s. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Arkiveret 14. maj 2021 på Wayback Machine .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemannsk geometri generelt , trans. fra German., M., 1971;
Cohn-Vossen, Nogle problemer i differentialgeometri generelt , Moskva, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Forelæsninger. Kapitel 5: Riemannske manifolder